Calculo

C´lculo. Ingenier´ de la Salud
a
ıa
Primera Prueba Evaluada (3 de Noviembre de 2011)
Ejercicio 1.
ıces
o
1. Encontrar todas las ra´ de la ecuaci´n z 4 + 4 = 0.
2. Expresar las ra´ anterioresen forma bin´mica y representarlas en el plano complejo.
ıces
o

Ejercicio 2.
Dada la funci´n f (x) =
o

|x|
e|x−1|

1. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de dicha funci´n
o
2.Determinar sus extremos absolutos y relativos

Ejercicio 3.
1. Obtener los polinomios de MacLaurin de grado 3 de las funci´n f (x) = ex sen(x).
o
2. Aplicar el resultado del apartado anterior paracalcular el siguiente l´
ımite
ex sen(x) − x(1 + x)
x→0
x3
l´
ım

Ejercicio 1.
1. Encontrar todas las ra´ de la ecuaci´n z 4 + 4 = 0.
ıces
o
2. Expresar las ra´ anteriores en formabin´mica y representarlas en el plano complejo.
ıces
o

z4 + 4 = 0

−→

z 4 = −4

−→

z=

√
4

−4 =

√
4

−4 + 0i =

4

4(cos(π) + i sen(π).

√ √
√
 √
2/2
2/2) = 1 + i [punto(1,1)]
 √ 2 (cos(π/4) + i sen(π/4)) =√ 2 ( √ + i √


2 (cos(3π/4) + i sen(3π/4)) = √ 2 (−√ 2/2 + i√ 2/2) = −1 + i [punto (-1,1)]
z= √
 2 (cos(5π/4) + i sen(5π/4)) = 2 (− √2/2 − i √2/2) = −1− i [punto (-1,-1)]
 √
√

2 (cos(7π/4) + i sen(7π/4)) = 2 ( 2/2 − i 2/2) = 1 − i [punto (1,-1)]

Ejercicio 2.
Dada la funci´n f (x) =
o

|x|
e|x−1|

1. Estudiar la continuidad y laderivabilidad de dicha funci´n
o
2. Determinar sus extremos absolutos y relativos

1.a) Teniendo en cuenta que los argumentos de los valores absolutos se anulan en x = 0 y x = 1,
definimos a trozosla funci´n:
o









f (x) =

−x
e1−x

para x ≤ 0

−x
para 0 < x ≤ 1
 e1−x





x


para x > 1
x−1
e

Los l´
ımites laterales coinciden tanto en x= 0 como en x = 1

l´ x→0− f (x) = l´ x→0− −x = 0
ım
 ım

e1−x


l´ x→0+ f (x) = l´ x→0+ x = 0
ım
ım
e1−x

l´ x→1− f (x) = l´ x→1− x = 1
ım
 ım

e1−x


l´ x→1+ f...