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Dentición de Análisis Numérico

El Análisis Numérico es una rama de las matemáticas que, mediante el uso de algoritmos iterativos, obtiene soluciones numéricas a problemas en los cuales la matemática simbólica (o analítica) resulta poco eficiente y en consecuencia no puede ofrecer una solución. En particular, a estos algoritmos se les denomina métodos numéricos.
Por lo general los métodosnuméricos se componen de un número de pasos finitos que se ejecutan de manera lógica, mejorando aproximaciones iniciales a cierta cantidad, tal como la raíz de una ecuación, hasta que se cumple con cierta cota de error. A esta operación cíclica de mejora del valor se le conoce como iteración.
Ejemplo.
Uno de los ejercicios más comunes en los cursos básicos de
Algebra universitaria consiste enencontrar las raíces de un polinomio. El estudiante conoce principios tales como que el polinomio posee n raíces, donde n es el grado del polinomio. Conoce también que es posible que existan exclusivamente raíces reales o bien, una combinación entre raíces reales y raíces complejas, existiendo estas últimas en parejas conjugadas. El método de solución comúnmente utilizado es la división sintética (quees un método numérico). El estudiante aplica el método tantas veces como sea necesario para lograr que el residuo de la división sea cero, o muy cercano a cero.
No obstante, este procedimiento podrá dejar insatisfecho a un estudiante acucioso pues aun cuando existen mecanismos para elegir un valor inicial de una raíz, se invierte mucho tiempo mejorando este valor inicial; adicionalmente escomplicado obtener las raíces complejas, cosa que usualmente debe lograrse a través de un cambio de variable y del uso de la formula general para ecuaciones de segundo grado. Finalmente, este proceso solo es aplicable en polinomios; no es posible su aplicación en ecuaciones trascendentes.
El análisis numérico es una alternativa muy eficiente para la resolución de ecuaciones, tanto algebraicas(polinomios) como trascendentes teniendo una ventaja muy importante respecto a otro tipo de métodos: La repetición de instrucciones lógicas (iteraciones), proceso que permite mejorar los valores inicialmente considerados como solución. Dado que se trata siempre de la misma operación lógica, resulta muy pertinente el uso de recursos de cómputo para realizar esta tarea.

Uso del análisis numérico

Eldesarrollo y el auge del uso del análisis numérico corren en forma paralela al desarrollo tecnológico de la computación. Las computadoras (y en consecuencia también las calculadoras) están facultadas para realizar una multitud prácticamente infinita de operaciones algebraicas en intervalos de tiempo muy pequeños; esto las convierte en la herramienta ideal para la aplicación de los métodos numéricos.De hecho, el análisis numérico resulta ser la manera natural de resolver modelos matemáticos (de naturaleza algebraica o trascendente tanto para la matemática continua como para la discreta) a través de la computadora.
Por otra parte, como consecuencia directa de la aplicación de soluciones numéricas y del crecimiento de recursos computacionales, se ha logrado también la incorporación de lasimulación matemática como una forma de estudio de diversos sistemas.
Sin embargo debe haber claridad en el sentido de que el análisis numérico no es la panacea en la solución de problemas matemáticos.
Consecuencia de lo anteriormente dicho consiste en que, por lo general, los métodos numéricos arrojan soluciones numéricas. Si en determinado caso se desea obtener soluciones analíticas deberárecurrir a los procedimientos algebraicos acostumbrados. Por otra parte, las soluciones numéricas resultan ser aproximaciones, es decir, en pocas ocasiones son soluciones exactas.
Como se analizara en su oportunidad, las soluciones numéricas conllevan una cota de error. Este error, que si bien puede ser tan pequeño como los recursos de cálculo lo permitan, siempre está presente y debe considerarse su...