Calculo

Tema 10: Límites y continuidad de funciones de varias
variables
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Funciones de varias variables

Definición 1.1 Llamaremos función real de varias variables a toda función f : Rn → R. Y
llamaremos función vectorial de n variables a toda función f : Rn → Rm . (En ambos casos f
es una función de n variables.)
i) f : R2 → R dada por f (x, y) = x2 y + ecos y log x − 3.
√
ii) f : R3 → R dadapor f (x, y, z) = cos(x − y − 2) + z 5 − 1 tan(ex+y ).
√2 2
x +x +...+x2
n
n
.
iii) f : R → R dada por f (x1 , x2 , ..., xn ) = e 1 2

Ejemplo 1.2

iv) f : R3 → R2 dada por f (x, y, z) = (x − y + z − 20, z tan[ezy ]).
v) f : R4 → R5 dada por f (x, y, z, t) = (x − y, x cos z, t2 + ey , 0, 3 − xyzt).
Observación 1.3 Las funciones que aparecen en los apartados i), ii) y iii) son reales ylas de iv) y
v) son vectoriales.
Definición 1.4 Sea f : Rn → Rm (una función vectorial). Llamaremos funciones coordenadas
de f a las funciones f1 , f2 , ..., fm : Rn → R que verifican que
f (x1 , x2 , ..., xn ) = (f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn )).
En esta situación pondremos f = (f1 , ..., fm ).
Observación 1.5 Para el ejemplo iv) anterior setiene que f : R3 → R2 tiene por funciones coordenadas f1 , f2 : R3 → R, dadas por f1 (x, y, z) = x − y + z − 20 y f2 (x, y, z) = z tan[exy ]. Para el
ejemplo v) anterior se tiene que f : R4 → R5 tiene por funciones coordenadas
f1 , f2 , f3 , f4 , f5 : R4 → R, dadas por f1 (x, y, z, t) = x − y, f2 (x, y, z, t) = x cos z,
f3 (x, y, z, t) = t2 + ey , f4 (x, y, z, t) = 0 y f5 (x, y, z, t) = 3 − xyzt.Igual que en el caso de funciones reales de una variable real (f : R → R) se entiende por dominio
de una función de varias variables al conjunto de puntos de Rn en el cual tienen sentido todas las
expresiones que definen a la función. Si f = (f1 , f2 , ..., fm ) es una función vectorial se tiene además
que Domf = Domf1 ∩ ... ∩ Domfm .
Observación 1.6 En el ejemplo i) anterior el dominio estáformado por todos los puntos (x, y)
que cumplen que x > 0. En el ejemplo ii) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z)
de R3 que verifican z 5 − 1 ≥ 0 y cos(ex+y ) 6= 0, simultáneamente. En el ejemplo iii) el dominio
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es todo Rn , así como en el ejemplo v). Finalmente en el ejemplo iv) el dominio está formado por
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todos los puntos (x, y, z) de R3 que verifican cos(ezy ) 6= 0.Para la función f (x, y) = cos( 2
)
x + y2
el dominio es todo R2 salvo el punto (0, 0) (observar que es el único punto que hace nula la suma
x2 + y 2
el dominio es {(x, y) ∈ R2 tales que
de cuadrados x2 + y 2 ). Para la función g(x, y) =
xy
xy 6= 0}, en definitiva todo R2 salvo los ejes coordenados x = 0 e y = 0. Y el dominio de la función
√
2
f (x, y) = ( x , log(x − y), x2 − 1) es Domf= {(x, y) ∈ Rn : y 6= 0, x − y > 0, x2 − 1 ≥ 0}.
y
La gráfica de una función f : Rn → Rm es el siguiente conjunto de puntos de Rn+m
{(x1 , x2 , ..., xn , f (x1 , x2 , ..., xn )) ∈ Rn+m : (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Domf }.
Casos donde puede visualizarse la gráfica:
• Una función real de variable real f : R → R. En este caso la gráfica es una curva en R2 , que
está formada por todos los puntos de laforma (x, f (x)), donde x recorre el dominio de f . Ésta
es la situación que hemos analizado en el Tema 6 de la asignatura.
• Una función real de dos variables f : R2 → R. En este caso la gráfica es una superficie, que
está formada por todos los puntos de la forma (x, y, f (x, y)), donde (x, y) recorre el dominio
de f . Ésta será la situación que analizaremos por excelencia.
• Una funciónvectorial de una variable f : R → Rn , cuando n = 2, 3. En este caso tenemos la
gráfica de una curva parametrizada en R2 ó R3 . Ésta es una situación especial que se visualiza
de otro modo que no vamos a ver aquí.
Ejemplo 1.7 A continuación vemos en primer lugar la gráfica de la superficie z = x2 + y 2 , y en
segundo lugar la de la superficie z = x2 − y 2 .

Debido a la complejidad existente en...