calculo

Integrales impropias
En todo el estudio hecho hasta ahora se han utilizado dos
propiedades fundamentales: la funci´n ten´ que ser acotada y
o
ıa
el intervalo de integraci´n ten´ que ser cerrado y acotado.
o
ıa
En esta ultima secci´n extenderemos el c´lculo de la integral
´
o
a
de Riemann a:
1. Funciones definidas en intervalos no acotados: integrales
impropias de primera esp´cie.
e2. Funciones no acotadas: integrales impropias de segunda
especie.

1

Integrales impropias de primera especie:
Las integrales de este tipo son de la forma
+∞

+∞

f,
−∞

b

f,

e

a

f,
−∞

siendo f acotada en el intervalo correspondiente.
Observaci´n 1 Es evidente que las propiedades de la integral
o
permiten reducir su estudio al caso
+∞

f,
a

siendo facotada en [a, +∞).
Supongamos que se conoce una primitiva F de la funci´n f .
o
Entonces,
+∞

I1 =

x1

f = lim
a

x1 →+∞

f = lim (F (x1 ) − F (a)) .
x1 →+∞

a

2

Definici´n 1 Sea f : [a, +∞) → R una funci´n acotada.
o
o
+∞

1. Se dice que a f es convergente si, y s´lo si, f es Rieo
mann integrable para todo intervalo [a, x], existe el l´
ımite
x1

lim

x1 →+∞

fa

y es un n´mero real.
u
En este caso diremos que la funci´n f es Riemann integrao
ble en el intervalo [a, +∞).
+∞

2. Se dice que a f es divergente si, y s´lo si, f es Rieo
mann integrable para todo intervalo [a, x], existe el l´
ımite
x1

lim

x1 →+∞

f
a

y no es finito.
+∞

3. Se dice que a f es oscilante en el caso en que f no
sea Riemann integrable en un intervalo[a, x] o no exista
el l´
ımite
x1
f.
lim
x1 →+∞

a

Observaci´n 2 La idea que subyace tras las integrales improo
pias de primera especie es integrar hasta un punto x1 arbitrario
y, despu´s, hacer tender x1 al infinito.
e

3

Ejemplo 1 Dado a > 0, estudiaremos el car´cter de la integral
a
impropia de primera especie
+∞
a

1
dx ,
xs

seg´n los valores del par´metro s ∈ R.
ua
Como
+∞

I1 =
a

1
dx = lim
x1 →+∞
xs

x1
a


 lim


1 1−s
x
1
dx = x1 →+∞ 1 − s

xs
 lim ln x1 ,
x1 →+∞
a

x1

, s = 1,
a

tenemos que,
1. Si s > 1, entonces es convergente y I1 =

1 1−s
a .
s−1

2. Si s ≤ 1, I1 es divergente.
Si f : [a, +∞) → R es tal que f ≥ 0 y es Riemann integrable
en todo intervalo [a, x], entonces f es Riemann integrableen
[a, +∞) si, y s´lo si, existe un M ≥ 0 tal que para todo x ≥ a
o
se tiene que
x

f ≤ M.
a

Los principales criterios que tenemos para averiguar si una
integral impropia de primera especie es convergente se resumen
en los siguientes resultados.
Teorema 1 (Criterio de comparaci´n) Sea f : [a, +∞) → R
o
tal que f es Riemann integrable en todo intervalo de la forma
[a, x]. Si existe g: [a, +∞) → R tal que para todo x perteneciente a [a, +∞) se tiene que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) y adem´s
a
g es Riemann integrable en [a, +∞), entonces f es Riemann
integrable en [a, +∞).
4

s = 1,

Si utilizamos las funciones del ejemplo 1, como corolario tenemos lo siguiente:
Corolario 1 Sea f : [a, +∞) → R tal que f es Riemann integrable en todo intervalo de la forma [a, x]. Entonces:
1. Sipara todo x perteneciente a [a, +∞) se tiene que
0 ≤ f (x) ≤

1
xs

con s > 1 entonces f es Riemann integrable en [a, +∞).
2. Si para todo x perteneciente a [a, +∞) se tiene que
f (x) ≥

1
xs

con s ≤ 1, entonces f es divergente en [a, +∞).
Teorema 2 (Criterio de comparaci´n por paso al l´
o
ımite) Sean
f, g : [a, +∞) → R tales que son Riemann integrables en todo
intervalo de laforma [a, x] y, adem´s, f ≥ 0, g > 0. Sea
a
f (x)
,
x→+∞ g(x)

α = lim
entonces:

1. Si α = 0 y g es Riemann integrable en [a, +∞), tenemos
que f es Riemann integrable en [a, +∞).
2. Si α = +∞, tenemos que, si f es Riemann integrable
en [a, +∞), se verifica que g es Riemann integrable en
[a, +∞).
3. Si α es un n´mero real no nulo, tenemos que f es Riemann
u
integrable en [a, +∞)...