Calculo

Ejercicios resueltos

Luis Zegarra A

CÁLCULO II

Cálculo en varias variables

1. Funciones de varias variables. Dominio y recorrido. Curvas de
nivel
1.

Dada la función

0 aBß C b œ

B
È#B  C  #

a) Determine el dominio de la función y dibuje un gráfico de éste.

b) Encuentre y grafique las curvas de nivel, para 0 aBß C b œ "ß #ß !Þ
Solución.
aÑ
H97 0 œ ÖÐBß CÑ Î #B  C #  ! ×
y
2x − y + 2 = 0

2
−1

x

b)
B
œ " Í C œ  B#  #B  #, con B Á ! e C Á #
È#B  C  #

B
"
œ # Í C œ  B#  #B  #, con B Á ! e C Á #
È#B  C  #
%

B
œ ! Í B œ !ß con #B  C  #  ! Ê C  #
È#B  C  #

2. Sea

Ú

#BC
0 ÐBß CÑ œ Û
 C#
Ü!
B#

si
si

ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ
ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ

""
a) Demuestre que 0 Ð ß Ñ œ 0 ÐBß CÑ y dibuje la curva denivel 0 ÐBß CÑ œ "ß
BC
a ÐBß CÑ Á Ð!ß !Ñ
b) Estudie la continuidad de 0 ÐBß CÑ en el origen.
Solución:
""
a) 0 ( ß ) œ
BC

""
#B C
"
B#



"
C#

œ

#BC
œ 0 ÐBß CÑ
B#  C #

Curva de nivel para 0 ÐBß CÑ œ 1 Ê B#  C # œ #BC Ê ÐB  CÑ# œ ! Í B œ C

b) 0 Ð!ß !Ñ œ !ß existe
Tomando la trayectoria C œ 7B ß 7 − ‘
#BC
#B7B
#7
#7
œ lim #
œ lim
œ
#
# B#
#
BÄ! B  7BÄ! "  7
C
"  7#

ÐBßCÑÄa!ß!b B#

lim

#7
Á 0 por lo tanto 0 ÐBß CÑ es
"  7#
discontinua inevitable en Ð!ß !Ñ pues no existe
lim 0 ÐBß CÑ.

El límite depende de 7, y para m Á 0 Ê

ÐBßCÑÄa!ß!b

2. Límites y Continuidad.

1. Demuestre que la siguiente función no es continua en ‘# ß
Ú

BC
0 ÐBß CÑ œ Û ÈB#  C #
Ü
!

si
si

aBß Cb Á a!ß !b
aBß Cb œ a!ß !bSolución.
Es suficiente tomar la trayectoria C œ 7Bß 7 − ‘à entonces
lim

ÐBßCÑÄÐ!ß!Ñ

0 ÐBß CÑ œ lim

BÄ!

ÈB#  7# B#
B  7B

œ lim „
BÄ!

"7
"7
œ„
È "  7#
È "  7#

el límite depende del parámetro 7ß por tanto no existe cuando ÐBß CÑ Ä a!ß !b,

entonces la función es discontinua inevitable en el origen.

3. Derivadas parciales. Interpretación geométrica.

Ú $B# C
0 aBß Cbœ Û B%  C#
Ü!

1. Sea

Calcule À

si aBß Cb Á Ð!ß !Ñ
si aBß Cb œ Ð!ß !Ñ

0B Ð!ß !Ñß 0BC Ð!ß !ÑÞ

Solución.

0 Ð2ß !Ñ  0 a!ß !b
%
# !
a) 0B Ð!ß !Ñ œ lim
œ lim 2 !
œ !ß
2Ä!
2Ä!
2
2
aaBß Cb Á a!ß !bÞ
$2# !

'BCÐB%  C# Ñ  $B# C %B$
'BC $  'B& C
0B aBß Cb œ
œ
ÐB%  C# Ñ#
ÐB%  C # Ñ#

Por tanto,

0B a!ß 5 b  0B a!ß !b
0BC Ð!ß !Ñ œ lim
œ lim
5Ä!
5Ä!
5'†!5 $ '†!& 5
Ð!% 5 # Ñ#

5

!

œ!

4. Derivadas parciales de orden superior.
? œ /BC
1. Sea A œ 0 Ð?,@Ñ una función diferenciable donde ß œ
@ œ /BC
%

demuestre

`#A
` #A
` #A
‘
œ /#B 

`@ `?
`B#
`C#

Solución:
`A
`A `B
` A `C
œ

`?
`B `?
`C `?

donde
"
? œ /BC Í B  C œ 68 ? B œ # Ð68 ?  68 @Ñ
"
@ œ /BC Í B  C œ 68 ? Ÿ
C œ Ð68 ?  68 @Ñ
#Así:
`A
`A "
`A "
" `A `A
œ

œ
Ð

Ñ
`C
`?
`B #? `C #?
#? `B
luego:

" `# A ` B
`#A
` #A ` C
` # A ` B ` #A ` C
œ
Ö#



×
`@ `?
`C`B `@
`C # ` @
#? `B `@
`B`C ` @
`#A
" `# A
` #A
`# A
` #A
œ
Ö



×
`@ `?
%?@ `B#
`B`C
`C`B
`C #
finalmente de aquí
%

`#A
` #A
` #A
‘
œ /#B 

`@ `?
`B#
`C#

5. Incremento total y parcial.Diferencial total. Plano tangente.
Diferenciabilidad. Aproximación.
1. Sea

Ú $B# C
0 aBß Cb œ Û B%  C#
Ü!

si aBß Cb Á Ð!ß !Ñ
si aBß Cb œ Ð!ß !Ñ

Demostrar que 0 ÐBß CÑ no es diferenciable en Ð!ß !Ñ
Solución.
Es suficiente probar que 0 es discontinua en a!ß !b
$B# C
lim 0 ÐBß CÑ œ lim Ðlim %
ÑÑ œ lim ! œ !
BÄ! CÄ! B  C #
BÄ!
aBßCbÄa!ß!b
Tomando C œ B# ß B Ä ! Ê C Ä !ß resultaaBßCbÄa!ß!b

lim

$B%
$
ϧ
BÄ! B%  B%
#

0 ÐBß CÑ œ lim

Por tanto como ! Á

$
#

el límite no existe y la función es discontinua inevitableß

con lo que 0 no es diferenciable en a!ß !bÞ

C
2. Sea 0 una función diferenciable, y consideremos la superficie D œ B 0 Ð ÑÞ
B
Probar que el plano tangente en cualquier punto T! ÐB! ß C! ß D! Ñ de la superficie
pasa por el origen....