calculo

´
Ingenier´ıa Matematica
FACULTAD DE CIENCIAS
´
F´ISICAS Y MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CHILE
´
Calculo
Diferencial e Integral 08-2

Importante:
Visita
regularmente
http://www.dim.uchile.cl/∼calculo.
Ah´ı encontrar´as las gu´ıas de ejercicios
y problemas, adem´as de informaci´on
Ingenier´ıa acerca
Matem´
atica
de cu´
al ser´
a la din´amica del curso.

Universidad de ChileSEMANA 1: CONTINUIDAD

1.

Usa estas notas al
margen para consultar de manera
m´
as r´
apida el material. Haz tambi´
en tus propias
anotaciones.

Continuidad

1.1.

Subsucesiones

Æ Æ

Definici´
on 1.1 (Subsucesi´
on). Sea (sn ) una sucesi´
on estrictamente
on. Sea f : → una funci´
creciente. Se llama subsucesi´
on de sn generada por f , a la sucesi´
on (un ), definidapor:
un = sf (n) .
Ejemplo 1.1.
Si f (n) = 2n, entonces un = s2n . (un ) = (s0 , s2 , s4 , s6 , s8 . . . ).
Si f (n) = 2n + 1, entonces un = s2n+1 . (un ) = (s1 , s3 , s5 , s7 , . . . ).
En general, (un ) = (sf (n) ) = (sf (0) , sf (1) , sf (2) , . . . ).

Observaci´
on: Aceptaremos que la funci´
on f no este definida para un n´
umero finito de t´erminos
como por ejemplo f (n) = n − 5.(sn−5 ) = (∄, ∄, ∄, ∄, ∄, s0 , s1 , . . . ).

El siguiente teorema caracteriza la convergencia de una sucesi´on v´ıa la de sus subsucesiones, mostrando que adem´as ´estas no pueden tener un l´ımite distinto al de la original.

Teorema 1.1. Sea (sn ) una sucesi´
on y sea ℓ ∈

Ê. Entonces

sn → ℓ ⇔ Todas las subsucesiones de (sn ) convergen a ℓ.
´ n. ⇐) Basta tomar f (n) = n, con lo que sf(n) = sn → ℓ.
Demostracio
⇒) Sabemos que
∀ε > 0, ∃n0 ∈ , ∀n ≥ n0 , |sn − ℓ| ≤ ε.

Æ Æ

Æ

Sea f : → , estrictamente creciente y eventualmente no definida en un n´
umero finito de casos.
P.d.q. ∀ε > 0, ∃k0 ∈ , ∀k ≥ k0 , |sf (k) −ℓ| ≤ ε. Efectivamente, como f no es acotada superiormente
(¿por qu´e?), ∃k0 ∈ , f (k0 ) ≥ n0 . Y luego:

Æ
Æ

∀k ≥ k0 , f (k) ≥ f (k0 ) ≥ n0 ,
de donde∀k ≥ k0 |sf (k) − ℓ| ≤ ε.

1

subsucesi´
on

Ingenier´ıa Matem´
atica

Universidad de Chile

Teorema 1.2 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesi´
on acotada tiene al menos una subsucesi´
on
convergente.

´ n. La demostraci´on se realiza mediante un m´etodo de dicotom´ıa.
Demostracio
Sea (sn ) una sucesi´on acotada. Existen entonces a0 , b0 ∈ tales que

Ê

∀n ∈

Æ,

a0 ≤ sn ≤ b0 .

Llamemos I0 = [a0 , b0 ].
0
Sea a continuaci´
on c0 = a0 +b
2 . Es claro que en alguno de los intervalos [a0 , c0 ] y [c0 , b0 ], hay una
infinidad de t´erminos de la sucesi´on (sn ). Llamemos I1 = [a1 , b1 ] a dicho intervalo.
1
erminos de (sn ) en alguno
Definimos entonces c1 = a1 +b
2 . Nuevamente, debe haber una infinidad de t´
de los intervalos [a1 , c1 ] y [c1 , b1 ].Llamamos a dicho intervalo I2 = [a2 , b2 ] y proseguimos de la misma
manera.
As´ı, se formar´a una colecci´
on de intervalos I1 , I2 , I3 , . . . , In , . . . con las siguientes propiedades:
∀n ∈
(sn ).

Æ, el intervalo In = [an, bn] contiene una cantidad infinita de t´erminos de la sucesi´on

Æ, bn − an = b 2−a .
∀n ∈ Æ, In ⊇ In+1 . Cuando esta condici´on se satisface, se habla de unacolecci´
on de intervalos
∀n ∈

0

n

0

encajonados.

Definamos entonces la siguiente subsucesi´on de (sn ) (denotada (sf (n) )):
f (1) = m´ın{k ∈

Æ | sk ∈ I1 }

f (2) = m´ın{k > f (1) | sk ∈ I2 }
f (3) = m´ın{k > f (2) | sk ∈ I3 }

f (n + 1) = m´ın{k > f (n) | sk ∈ In+1 }.
Con esto la subsucesi´on (sf (n) ) tiene la siguiente propiedad:
∀n ∈

Æ,

sf (n) ∈ In , o sea, an ≤ sf(n) ≤ bn .

(1.1)

Finalmente, es claro que las sucesiones (an ) y (bn ) son mon´
otonas (an ≤ an+1 , bn+1 ≤ bn ) y acotadas
(an , bn ∈ [a0 , b0 ]), luego convergen a los reales a y b, respectivamente. Adem´as como an ≤ bn , entonces
a ≤ b.
0
, entonces tomando l´ımite se tiene que b − a = 0 o sea, a = b.
Por u
´ ltimo, ya que bn − an = b02−a
n
Luego, aplicando sandwich en la...