Calculo

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

6. Sucesiones y Series num´ricas e 6.1. Sucesiones num´ricas e
L´ ımites de operaciones con sucesiones Si {an } −→ a y {bn }−→ b, entonces: an a −→ (si b = 0) abn −→ ab n bn b siempre que no se presente alguna de las siguientes indeterminaciones: 0 ∞ 1∞ 00 ∞0 ∞−∞ 0·∞ 0 ∞ que, en cada caso, habr´ que resolver mediantet´cnicas adecuadas de c´lculo de l´ a e a ımites. an ± bn −→ a ± b an bn −→ ab L´ ımites de sucesiones como l´ ımites de funciones Si an = f (n) y lim f (x) = l, entonces lim an = l. x→∞ n Observaci´n: Esteresultado permite usar en el c´lculo de l´ o a ımites de sucesiones las t´cnicas empleadas para e el c´lculo de l´ a ımites de funciones, incluso la regla de L’Hˆpital. o Sucesiones equivalentes an Sedice que {an } y {bn } son sucesiones equivalentes si lim = 1, y se indica: an ∼ bn . n bn • Si an → 0, son equivalentes: • Si an → 1, son equivalentes: sin an ∼ an ∼ arcsin an tan an ∼ an ∼ arctan anln an ∼ an − 1 (1 + an )p ∼ 1 + pan 2 n 1 − cos an ∼ a2 ln(1 + an ) ∼ an ean − 1 ∼ an

´ 6.1.2. CALCULO DE L´ IMITES I

√ 1 n a − 1 ∼ ln a (a > 0) n √ n n√ • F´rmula de Stirling: n! ∼ nn e−n 2πn= o 2πn e En c´lculo de l´ a ımites, en productos y cocientes se pueden sustituir sucesiones por otras equivalentes. ´ Infinitos. Ordenes de magnitud Se dice que una sucesi´n es un infinito si esdivergente, es decir, si lim |an | = ∞ o Dados dos infinitos {an } y {bn }, se dice que {bn } es un infinito de orden superior al de {an } si: an =0 lim n bn y se representa por: an bn . Es f´cil comprobar,hallando los l´ a ımites pertinentes, la siguiente jerarqu´ de infinitos: ıa ln n np an n! nn (p > 0, a > 1) En el c´lculo de l´ a ımites, se puede sustituir una suma o diferencia de infinitos por aquelque tiene jerarqu´ superior. ıa Ejercicios 1. Halla el l´ ımite de las siguientes sucesiones: √ √ √ (c) an = n n (a) an = n + 1 − n (b) an = ln n n (d) an = n n−1
2n+1 n

(e) an =

ap np +...