Calculo

Escuela de Ciencia Básicas, Tecnología e Ingeniería  Integrar es fácil 

Jose.blanco@unad.edu.co 
 

INTEGRAR ES FACIL Existen varios métodos de integración cuyo fin es solucionar los distintos tipos de integrales que nos pueden aparecer en un parcial, Quiz o taller, entre ellos tenemos: 1. Las integrales directas: están solucionadas en libros o se tomaron a través del tiempo como ciertas,entre ellas podemos nombrar:

∫ sen(x )dx = − cos(x ) + k ∫ cos(x)dx = sen(x ) + k ∫ e dx = e
x x

+k

dx ∫ x = Ln x + k

ax ∫ a dx = Ln(a ) + k
x

∫ sec (x )dx = tg (x ) + k
2

∫ sen(x )tg (x )dx = sec(x ) + k

y otras más…

2. Fórmula clásica: Integrales que se solucionan con la formula siempre y cuando

ax(n+1) a ∫ x dx = +k (n + 1)
n

n ≠ −1

Ejemplos:

4 x (1+1) 2 ∫4 xdx = (1 + 1) + k = 2 x + k

∫

x dx =

2x x +k = 3 ⎛1 ⎞ ⎜ + 1⎟ ⎝2 ⎠

⎛1 ⎞ ⎜ +1 ⎟ ⎝2 ⎠

⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

+k

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5 x (8+1) 5 x (9 ) ∫ 5x dx = (8 + 1) + k = 9 + k
8

∫x

0.86

x (0.86+1) x (1.86 ) dx = +k = +k (0.86 + 1) 1.86

dx x (−2+1) x (−1) −1 −2 = ∫ x dx = +k = +k = +k∫ x2 (− 2 + 1) −1 x

∫(

x (6+1) 3x 3 x 2 x (7 ) x2 3 x + 3x + x + 6 dx = + + + 6x = + x + + 6x + k (6 + 1) 3 2 7 2
6 2

)

Y otras

3. Integrales con ayuda del algebra: se solucionan utilizando la factorización, la simplificación, identidades trigonométricas y la división sintética entre otras:

4x2 − 4x − 8 4 x 2 − x − 2 4(x + 1)( x − 2) ∫ x + 1 dx = (x + 1) = (x + 1) = 4(x − 2) = 4 x− 8

(

)

Entonces:

4x2 − 4x − 8 2 ∫ x + 1 dx =∫ (4 x − 8)dx = 2 x − 8x + k

∫

x +1 dx x−5

Podemos realizar división sintética:

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x +1 − x+5 ______ 6

x−5 1
Es decir:

x +1 6 =1+ Por lo tanto la integral se soluciona así: x−5 x−5

∫

x +1 dx = x−5

∫ dx + 6 ∫dx = x + 6 Ln x − 5 + k x−5

∫
∫

(x

+ 3x 2 − 18 x x2 dx = ∫ xdx = +k (x − 3)(x + 6) 2
3

)

sen ( x ) cos ( x ) 1 − cos
2

(x )

dx

Utilizando la identidad trigonométrica:

sen

2

( x ) + cos 2 (x ) = 1

tenemos que:

sen ( x ) =

1 − cos

2

(x )

Entonces la solución es:

∫

sen ( x ) cos ( x ) 1 − cos
2

(x )

dx =

∫ cos

xdx = senx + k3x ∫ x + 5dx

Por división sintética (Se emplea cuando el exponente del numerador el mayor o

igual al exponente del denominador)

3x dx dx = 3∫ dx − 15∫ = 3x − 15Ln x + 5 + k ∫ x+5 x+5

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4. Por sustitución: Se emplea esta técnica cuando es posible obtener la derivada de un término enfunción del otro término. Ejemplos:

∫

senx dx cos 2 x

Sabemos que

senx

es la derivada del

cos x

para la solución debemos:

PASO 1: PASO 2:

U = Cosx

du = sen ( x )dx

PASO 3:

dx =

du sen ( x )

PASO 4: Reemplazar los anteriores valores en la ecuación original

∫

⎧ u = cos ( x ) senx dx ⇒ ⎨ ⇒ du = − sen ( x )dx cos 2 x ⎩

∫

1 senx du = = Sec ( x ) +c u 2 − Sen ( x ) cos ( x )

∫

dφ = sec φ csc φ

∫ sen φ cos φ d φ

Por trigonometría.

Al realizar la sustitución:

u = senφ du = cos φdφ du dφ = cos φ
Obtenernos

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∫ sen φ cos φ d φ =
xdx x = ∫ 1+ x4 1+ x2

u cos φ du = udu = 0 . 5 sen 2φ + k cos φ

( )

2

u = x2 du= 2 xdx du dx = 2x

Por lo tanto:

xdx xdu 1 du = = ∫ = 0.5 Artg x 2 + k ∫ 1 + x 4 1 + u 2 (2 x ) 2 1 + u 2

( )

6 ∫ tg (x ) sec (x )dx =

sen( x ) senx = cos(x ) cos6 ( x ) cos7 ( x )

Realizando la sustitución:

u = cos x du = − senxdx − du dx = senx

∫

− sen ( x )du = u 7 sen ( x )

∫−u

−7

du =

1 1 = +k 6 cos 6 ( x ) u

x 5 x 3 +1dx ∫

u =
Aplicando la...