Calculo

Escuela Preparatoria Oficial No. 1 Anexa a la ENSEM

Trabajo: Proyecto

Materia: Calculo Integral

Nombre de los Alumnos: 
       Fernando Roy Martínez Valle
         Armando Neftali Reyes Aviles     Grado : 3.                         Grupo : "3"


           Ciclo Escolar  2014-2015


Área por debajo de la curva
Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo lacurva procedemos como sigue:   
 
1. Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno delos n rectángulos. 
2. En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo. 
3. Ahorasumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces: 
n


[ f(x*)(x)]
k=1

       A la sumatoria anterior se le conoce como Sumatoria de Riemann. 









Definimos el áreabajo la curva como:
Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.
  Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos.También se calculará el límite cuando n-->, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva. 
 
f(x)= x2 + 1  

5-1

 4 
 x= 

 = 


n

n
   
x0= 
1


x1= 
1 + x  = 
1+
 4 







n




x2= 
1 + 2x =
1+ 2(
4
)








n


(...)






4

xk=
1 + kx =
1 + k(

)



n

      Si escogemos el extremo derecho de los subíntervalos, tendríamos que    

4k
xk* = xk = 1+ 


n
   



4k

1 + (1 + 
4k
)2f(xk*) = 
f(
1 + 

) = 







n


n










[

4k

](4/n)


f(xk*) x =

1 +(1+

)2






n




 
Desarrollando la expresión anterior, nos queda:   

8(17n2 + 18n + 4)
La suma de Riemann = 


3n2136

48

32

La suma de Riemann = 

 + 

 + 



3

n

3n2









136

Area = Límite de la suma de Riemann = 



3



La noción del límite de una suma de Riemann puede extenderse a cualquier...