Calculo2 examen

I ciclo del 2014
Universidad de Costa Rica
MA1002 C´
alculo II
Facultad de Ciencias
7 de julio del 2014
Escuela de Matem´
atica
Soluci´
on del Tercer Examen Parcial
1. Considere las curvas C1 y C2 con ecuaciones polares r = 4 sen(3θ) y r = 4, respectivamente.
(a) (10 puntos) Halle las ecuaciones polares de las rectas tangentes en el polo a la curva
C1 y represente gr´aficamente lascurvas C1 y C2 en el siguiente sistema de coordenadas
polares. Adem´as represente gr´aficamente la regi´on R que corresponde a la intersecci´on
del interior de C2 con el exterior de C1 :
Soluci´
on
Tangentes en el polo de C1 :
r = 0 =⇒ 4 sen(3θ) = 0
=⇒ 3θ = 0 o´ 3θ = π o´ 3θ = 2π o´ 3θ = 3π o´ o´ 3θ = 4π o´ 3θ = 5π
π
2π
4π
5π
=⇒ θ = 0 o´ θ =
o´ θ =
o´ θ = π o´ θ =
o´ θ =
.
3
3
33
dr
= 12 cos(3θ) es distinto de cero para cada valor de θ encontrado entonces las
dθ
π
2π
4π
5π
tangentes en el polo de C1 son: θ = 0, θ = , θ =
, θ = π, θ =
, θ=
.
3
3
3
3
Para graficar se deben encontrar los puntos de intersecci´on de C1 y C2 :
Como

4 sen(3θ) = 4 =⇒ sen(3θ) = 1
5π
9π
π
o´ 3θ =
o´ 3θ =
=⇒ 3θ =
2
2
2
π
5π
3π
=⇒ θ =
o´ θ =
o´ θ =
.
6
6
2
π5π
3π
Los puntos de intersecci´on de C1 y C2 son: 4,
, 4,
y 4,
.
6
6
2
Gr´aficas de C1 , C2 y la regi´on R:

(b) (10 puntos) Calcule el valor exacto del a´rea de la regi´on R.
Soluci´
on

AR =

1
2

2π

42 dθ − 3 ·
0
2π

1
2

(4 sen(3θ))2 dθ
0

π/3

sen2 (3θ) dθ

dθ − 24

=8

π/3

0

0

π/3

2π

dθ − 24

=8
0

0

= [8θ]2π
dθ − 12 θ −
01 − cos(6θ)
dθ
2
sen(6θ)
6

π/3
0

= 16π − 4π
= 12π.
Por lo tanto el a´rea de la regi´on R es 12π unidades lineales al cuadrado.
2. Considere la curva cartesiana
C : (x2 + y 2 + x)2 = x2 + y 2

1
, x ∈ −2,
, y∈
4

√
√
3 3 3 3
−
,
.
4
4

(a) (8 puntos) Demuestre que la curva C en coordenadas polares corresponde
a r = 1 − cos(θ) e identifique de cu´al curva polar setrata.
Soluci´
on

(x2 + y 2 + x)2 = x2 + y 2 ⇐⇒ (r2 + r cos(θ))2 = r2
⇐⇒ r2 + r cos(θ) = r
⇐⇒ r2 + r cos(θ) − r = 0
⇐⇒ r(r + cos(θ) − 1) = 0
⇐⇒ r = 0

´o

r + cos(θ) − 1 = 0

⇐⇒ r = 0

´o

r = 1 − cos(θ).

Donde r = 1 − cos(θ) es una cardioide sim´etrica al eje polar.

(b) (12 puntos) Calcule la longitud de la curva polar.
Soluci´
on
2π

(1 − cos(θ))2 + (sen(θ))2 dθLC =
0
2π

1 − 2 cos(θ) + cos2 (θ) + sen2 (θ) dθ

=
0
2π

2 − 2 cos(θ) dθ

=
0

=

√
2

2π

1 − cos(θ) dθ
0

√
=2 2

π
0

sen(θ)
1 + cos(θ)

√
= 2 2 −2 1 + cos(θ)

dθ
π
0

= 8.
Por lo tanto la longitud de la curva C es 8 unidades lineales.
3. Considere la curva polar
C:r=

8 sen(θ)
+ 4 sen2 (θ)

cos2 (θ)

, θ ∈ [ 0, 2π[.

(a) (8 puntos) Demuestreque la curva C en coordenadas cartesianas corresponde
x2
a
+ (y − 1)2 = 1 e identifique de cu´al c´onica se trata.
4
Soluci´
on
8 sen θ
r=
⇐⇒ r =
2
cos θ + 4 sen2 θ

8y
r
x
r

2

y
+4
r

2,r

8y
⇐⇒ r = 2 r 2
x + 4y
r2
8y
⇐⇒ 1 = 2
x + 4y 2
⇐⇒ x2 + 4y 2 − 8y = 0
⇐⇒ x2 + 4(y − 1)2 − 4 = 0
⇐⇒
Y se trata de una elipse horizontal.

x2
+ (y − 1)2 = 1.
4

=0(b) (10 puntos) Grafique la c´onica, calculando sus v´ertices, focos y excentricidad.
Soluci´
on
La elipse tiene centro C(h, k) = (0, 1), semieje mayor a = 2 y semieje menor b = 1 por
lo que los v´ertices son V1 (h − a, k) = (−2, 1) y V2 (h + a, k) = (2, 1).
√
√
Como c2 = a2 − b2 = 3 entonces c = 3, as´ı sus focos son F1 (h − c, k) = (− 3, 1)
√
y F2 (h + c, k) = ( 3, 1).
√
c
3
Suexcentricidad es e = =
.
a
2
Y su gr´afica es

(c) (2 puntos) Escriba una representaci´on de las ecuaciones param´etricas de la c´onica.
Soluci´
on
x2
x 2
+ (y − 1)2 = 1 ⇐⇒
+ (y − 1)2 = 1
4
2
x
⇐⇒ = cos θ ∧ y − 1 = sen θ, θ ∈ [ 0, 2π[
2
⇐⇒ x = 2 cos θ ∧ y = 1 + sen θ.
Es decir que C :

x = 2 cos θ
y = 1 + sen θ

θ ∈ [ 0, 2π[.

4. (20 puntos) Calcule los semiejes, el...