calculo3

RESOLUCIÓN DE PRUEBA 3
CÁLCULO III
INGENIERÍA
12de diciembre 2012
4 no para 1° s 2013
1. Usando el teorema de Green en el plano, evaluar la integral de línea
x

2y dx

y dy siendo C la elipse de ecuación x 2

3x

4y 2

4,

C

recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj.
DESARROLLO
Pdx

Q
x

Qdy

C

R

P
y

dydy

Siendo C una curva cerrada simple,recorrida en sentido positivo, que acota la región
R del plano
P

x

2y,

P
y

3x

x2
x

y

Q
x

2,

C, es la elipse
Entonces,

Q

4y 2

4,

2y dx

3x

3

R, es el sector acotado por la elipse,

x

2y dx

3x

4y 2

R

y dy

dxdy

C

1

2

R

2. Resolver la integral

e

x

dx

4

dxdy, es el área de la elipse de semiejes 2 y 1y dy

C

x2

x2

cos y 2

dy , si C es la curva cerrada,

C

formada por los arcos de circunferencia de radios 1 y 2 respectivamente y por
los segmentos rectilíneos 1 x 2, en eje x, 1 y 2 , en eje Y.
DESARROLLO
La curva de integración es

y 2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

x

La curva es cerrada y simple luego se puede aplicar elTeorema de Green
P

e x,

1
P
y

x2

Q
Q
x

0,

Luego,

1

e

x

cos y 2
2x

dx x 2

cos y 2 dy

2xdxdy

C

R

x

1

r

2,

0

2

2 2

28

1
3

2

2r 3
3

2r 2 cos drd

2 r r cos drd
0 1

R

r sin

x, y
r,

,

r

2

2 2

2xdxdy

r cos

y

Usando coordenadas polares

0 1

0

2

cos d
1

2

cos d

14
30

14 sin | 2
0
3

cos d

14
3

0

3. Dada la integral
I
C

ydx
x2

xdy
y2

a) Pruebe que I es independiente del camino C que une dos puntos A y B.
b) Determine el valor de I entre los puntos A
3 ,1 y B
0, 2
del camino C
DESARROLLO

La integral es independiente de la trayectoria si el campo es conservativo
y

P

x
P
y

2

,

y2
x2

y2
x2

x

Qx2

x2 y2
,
2
x2 y2

y2y
2

y2

x2

Q
x

y2

x2

x2x

y2

2

x2 y2
x2 y2

2

Q
x

P
y

Se cumple que

y2

Por lo tanto el campo es conservativo y la integral de línea es independiente
de la trayectoria.
b) Para hallar el valor de la integral se determina el potencial
Sea

tal que

x, y

ydx
x y2

x, y

Sea

y

2

x
y2

,

y2dx

c y

2

x
y

1

y

c y

x
x2

y2

arctan x
y

1

cy

cy

x
y2

Q

y

x

2

arctan x
y
1

y

x2

ydx

2

x, y

y

P

x

x, y

1

x
y

x, y

2

x2

y2

0

c

cons tan te

arctan x , un potencial del campo dado
y

Entonces, I
C

ydx
x2

xdy
y2

arctan x
y

4. Determinar el valorde

0,2
3 ,1arctan 0

arctan 3

3

F NdS, donde S es la porción del plano 2x

2y

S

situada en el primer octante, N denota la normal que apunta hacia arriba, y
F x; y; z
xy; x 2 ; x z
DESARROLLO
La superficie es z

6

2x

2y

z

6

El vector normal del plano es
su norma es

2, 2, 1

2, 2, 1

3

La región del plano donde está definido está acotado por: x

0, y

0,

2x6

2y dydx

y5
4
3
2
1
0
0

2

F NdS

xy, x , x

S

1

2

4

5

x

3 3 x

2, 2, 1
dS
3

z

3

2x 2

2xy

x

0 0

s
3 3 x

3

2xy

2x

2

x

2y

xy 2

6 dydx

0 0

2x 2 y

6y | 3 x dx
0

y2

xy

0

3
2

x3

x

3x 3

12x 2

2x 2 3

x

x3

x

3

3x 4
4

4x 3

x

2

63

x

dx

0
30

2x

18x

27 dx

9x 2

3

27x
0

2y

6

243
4

108

81

81

189
4

47, 25

2. Demuestre que el campo Fx, y, z = 3x 2 e y − cos z +

1
x

, x 3 e y + 2yz 2 , x sin z + 2y 2 z es

conservativo, encuentre su potencial, y calcule
3,0,0

∫ F ∙ dr
1,0,0

P = 3x 2 e y − cos z +
∂P
∂y

∂Q
∂x

= 3x 2 e y ,

1
x

,

Q = x 3 e y + 2yz...