CalculoElementalLimites

Cap´ıtulo 5

C´
alculo elemental de l´ımites. . .
Vamos a dedicar este cap´ıtulo a tratar de mejorar nuestra relaci´on con los l´ımites, desarrollando el
m´etodo que ya hemos anunciado, que nos permitir´a calcular el l´ımite y demostrar a la vez que ese c´alculo
es correcto. Este cap´ıtulo es necesaria e inevitablemente t´ecnico. Pero no parece haber alternativa: si
queremos ser capaces decalcular derivadas, necesitamos este lenguaje y estos resultados. Animamos al
lector a que tenga paciencia, con la promesa de que el esfuerzo tendr´a su recompensa en posteriores
cap´ıtulos.

5.1.

Operaciones elementales con l´ımites

La idea es f´acil de entender. La mayor´ıa de las funciones que encontraremos se construyen haciendo
operaciones a partir de funciones elementales.
Ejemplo 5.1.1.Consideremos una funci´
on, tal como:

f (x) =

3x2 + sen x
x3 − cos ln x

Esta funci´
on puede obtenerse a partir de varias piezas m´
as sencillas, funciones elementales como son
x,

sen x,

cos x, ln x

Y esas funciones sencillas se combinan mediante operaciones. Por ejemplo, en el numerador, 3x2 se
obtiene de x con la operaci´
on de multiplicaci´
on as´ı:
3x2 = 3 · x · x
Y a partir de 3x2 y sen x elnumerador se obtiene con la operaci´
on suma.

Lo que queremos hacer es estudiar c´omo se comportan los l´ımites cuando las funciones se combinan
mediante esas operaciones, el producto, la suma, el cociente, la composici´on, etc.Y adem´as tendremos que
estudiar como se comportan al pasar al l´ımite las funciones elementales que utilizamos como piezas b´asicas
de la construcci´on: las potencias dex, las funciones trigonom´etricas, las exponenciales y logaritmos,
etc´etera.
Empezaremos esta tarea por las operaciones aritm´eticas y las funciones m´as sencillas.
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5.1.1.

L´ımites de sumas y productos. Polinomios. L´ımite de cocientes sencillos.

El primer resultado te´orico es tan sencillo que realmente casi parece que no hay nada que demostrar
aqu´ı.
Teorema 5.1.2 (L´ımite de sumas yproductos).
 Si se cumple


l´ım f (x) = A, y l´ım g(x) = B,

x→x0
x→x0


 entonces tambi´en se tiene:


l´ım (f (x) + g(x)) = A + B, y l´ım (f (x)g(x)) = AB.


x→x0

x→x0

En lenguaje informal, lo u
´nico que dice este teorema es que si, para x cerca de x0 , el valor de la funci´
on
f (x) se parece mucho a A y el de g(x) a B, entonces la suma ¡qu´e remedio! se parece mucho a A + B, y
elproducto se parece mucho a AB.
A pesar de lo sencillo y evidente que es esto, es una buena idea que el lector interesado trate de
construir una demostraci´on formal de este teorema. Dejamos esa demostraci´on para los ejercicios del
curso.
La funci´
on f (x) = x, tiene evidentemente la propiedad de que:
l´ım f (x) = l´ım x = x0

x→x0

x→x0

Es decir, f (x) = x es continua en x0 , sea cual sea x0 .Abreviamos esto diciendo que f (x) es continua en
todo R.
De aqu´ı se deduce, usando el teorema que acabamos de ver, que, puesto que x2 = x · x, tambi´en se
cumple el siguiente resultado:
l´ım x2 = x20
x→x0

Es decir, f (x) = x2 define una funci´
on continua en todo R. Y lo mismo sucede en general con todas las
potencias naturales x3 , x4 , etc´etera1 .
Adem´as es evidente que todas las funcionesconstantes son igualmente continuas en todo R. Y por
tanto, usando de nuevo nuestro teorema, todas las funciones de la forma
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
es decir, todos los polinomios en x, son funciones continuas en todo R sean cuales sean los coeficientes
an , . . . , a0 del polinomio.
Ejemplo 5.1.3. Quiz´
a convenga detenerse un momento en este punto. Hab´ıamos dicho que losresultados
que estamos obteniendo permiten calcular y demostrar la vez. Veamos que, en efecto, es as´ı: la continuidad
de los polinomios nos permite responder a preguntas como esta:
l´ım 4x3 − 2x2 + x − 1 =??

x→2

Porque la continuidad del polinomio nos garantiza que el l´ımite es precisamente el valor del polinomio en
ese punto:
l´ım 4x3 − 2x2 + x − 1 = 4 · 23 − 2 · 22 + 2 − 1 = 25
x→2

Y la...