calculos

SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS.
Roland England
Marzo 2003.

1

Contents
1 Introducci´n
o
1.1 Repaso de las propiedades de ecuaciones diferenciales ordinarias y de sus soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Soluciones anal´
ıticas y num´ricas. . . . . . . . . . . .
e
1.1.2 Sistemas de ecuaciones, y ecuaciones de orden mayor
que uno. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Soluciones generales y condiciones iniciales. . . . . . .
1.1.4 Singularidades y ecuaciones impl´
ıcitas. . . . . . . . . .
1.1.5 Teorema de existencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ecuaciones lineales, linealizaci´n de ecuaciones no-lineales, y
o
estabilidad del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1Soluci´n general de ecuaciones lineales. . . . . . . . .
o
1.2.2 Aplicaci´n a la primera variaci´n de ecuaciones noo
o
lineales, y estabilidad del problema. . . . . . . . . . .

4
4
4
5
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9
10
10
12

2 CONCEPTOS BASICOS PARA PROBLEMAS CON CONDICIONES INICIALES.
14
2.1 M´todo de Euler con an´lisis del error. . . . . . . . . . . . . 14
e
a
2.1.1 M´todo de Euler. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 14
e
2.1.2 Pruebas num´ricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
e
2.1.3 Una cota para el error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 Comprobaci´n num´rica. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
e
2.1.5 Estimaci´n del error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
3 ESTABILIDAD Y METODOS IMPLICITOS
21
3.1 Estabilidad del problema con condicionesiniciales . . . . . . 21
3.1.1 Problemas estables con cota grande para el error. . . . 21
3.1.2 Ecuaciones Diferenciales ”stiff”, y el m´todo de Euler. 22
e

2

3.1.3

Un m´todo con regi´n de estabilidad absoluta m´s
e
o
a
grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 METODOS CON UN SOLO PASO
4.1 Clasificaci´n de m´todos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
e4.1.1 M´todos con un solo paso y con pasos m´ltiples.
e
u
4.1.2 El m´todo de la serie de Taylor. . . . . . . . . .
e
4.1.3 M´todos de extrapolaci´n. . . . . . . . . . . . . .
e
o
4.1.4 M´todos del tipo Runge-Kutta. . . . . . . . . . .
e

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

5 METODOS DE RUNGE-KUTTA Y CONTROL DEL ERROR.
5.1 M´todos del tipo Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . .. . . . .
e
5.1.1 Forma aut´noma, y notaci´n. . . . . . . . . . . . . . .
o
o
5.1.2 M´todo del punto medio por extrapolaci´n. . . . . . .
e
o
5.1.3 M´todos del tipo Runge-Kutta de orden dos. . . . . .
e
5.1.4 La clase de m´todos de orden cuatro. . . . . . . . . .
e
5.1.5 Suposiciones que permiten el ajuste pr´ctico del paso.
a
5.1.6 Estimaci´n del error de truncamiento local. . . .. . .
o

25
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42

6 METODOS CON PASOS MULTIPLES
45
6.1 Introducci´n a los m´todos con pasos m´ ltiples. . . . . . . . . 45
o
e
u
6.1.1 Los m´todos de Adams. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
e
6.1.2 Estabilidad de los m´todos de pasos m´ltiples. . . . . 50
e
u
7 FORMULACION DE NORDSIECK Y METODOS PARA
ECUACIONES ”STIFF”
7.1Una t´cnica para cambiar el paso, y las f´rmulas de Gear . .
e
o
7.1.1 La formulaci´n de Nordsieck. . . . . . . . . . . . . . .
o
7.1.2 Estabilidad y m´todos para ecuaciones ”stiff”. . . . .
e

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54
59

8 METODOS AUTOMATICOS.
64
8.1 Dise˜o de rutinas con un m´
n
ınimo de par´metros de control. . 64
a
8.1.1 Necesidades para un algoritmo autom´tico. . . . . . . 64
a

3Chapter 1

Introducci´n
o
1.1
1.1.1

Repaso de las propiedades de ecuaciones diferenciales ordinarias y de sus soluciones.
Soluciones anal´
ıticas y num´ricas.
e

El problema m´s sencillo en ecuaciones diferenciales ordinarias es el de ena
contrar una funci´n y(t) cuya derivada
o
dy
= f (t, y)
(1.1)
dt
donde f (t, y) es una funci´n dada de t, y. En el caso particular donde f...