CAMBIO DE BASE, ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO Y PROCESO DE ORTO NORMALIZACIÓN

MARTES 27 DE NOVIEMBRE DEL 2012

“CAMBIO DE BASE, ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO Y PROCESO DE ORTO NORMALIZACIÓN”

GUSTAVO EDUARDO CHÁVEZ PANIAGUA
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA
“JOSÉ MARÍA MORELOS Y PAVÓN”
“ALGEBRA LINEAL”
PROFESOR:
MIGUEL ALEJANDRO VALDOVINOS CERVANTES

Cambio de base
Definición: Matriz del cambio de base.
En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’, sellama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.
Su utilidad es la siguiente:
Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho vector en base B’.
En efecto, sean (a1, a2, . . . an) las coordenadas de unvector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B’.
Entonces:

Obteniéndose así (b1, b2, . . . bn) las coordenadas del vector en base B’.
Consideremos en ℜ2 las dos bases siguientes:
la base del ejemplo (1) anterior, B ={ (2,3), (1, –1) }
la base canónica B’ ={ (1,0), (0,1) }
Vamos a construir la matriz de cambio de base de B a B’.
Para ello debemos expresar los vectores de labase B en función de la base canónica B’.
(2,3) = 2·(1,0) + 3·(0,1) 􀃆 coordenadas (2,3)
(–1,1)= 1·(1,0) –1·(0,1) 􀃆 coordenadas (1, –1)
Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B a B’:

Del mismo modo podemos construir la matriz de cambio de base de B’ a B.
Para ello expresamos los vectores de la base canónica B’ en función de labase B. Podemos hallarlo planteando dos sistemas de ecuaciones, de los cuales se obtendrá
(1,0) = 51(2,3) + 53(1,–1) 􀃆 coordenadas (51,53)
(0,1)= 51(2,3) –52(1,–1) 􀃆 coordenadas (51 , –52)
Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B’ a B.

Vamos a aplicar estas matrices para hallar las coordenadas en base B del vector v= (1,2).Tenemos sus coordenadas en la base canónica B’ que son (1,2). Utilizamos la matriz Q de cambio de base de B’ a B:

Así hemos obtenido las coordenadas de v en base B.
Podemos volver a las coordenadas en base B’ utilizando la matriz P de cambio de base de B a B':

Propiedades de las matrices de cambio de base.
1. Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio alque se refieren las bases.
2. Toda matriz de cambio de base es inversible (es decir, con determinante no nulo).
Además, la matriz de cambio de B a B’ es inversa de la matriz de cambio de B’ a B.
Se puede comprobar en el ejemplo anterior que P y Q son inversas entre sí. Por tanto, después de hallar P, podríamos haber hallado Q como P–1.
3. La matriz de cambio de una base B a la misma base B,es la matriz identidad.
Observar en el ejemplo anterior que la matriz más fácil de obtener es la P, que pasa de una base B a la base canónica, pues basta escribir en las columnas la base B.
P= base B en columnas; Q=P-1
Espacio vectorial con producto interno
Definición. El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V,existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces:
Propiedades:
i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)
en (v) y (vii) se denota el conjugado complejo
EJEMPLO:
Un productointerno en Rn.- es un espacio con producto interno con (u, v)= u * v.
Base ortonormal
En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de...