Camilo

UNIVERSIDAD DEL VALLE Departamento de Matem´ticas a Solucionario Segundo Parcial C´lculo II A – Abril 22 de 2010 a 1.- a) Sea f (x) = 5x2 definida sobre I = [1, 3]. Defina una partici´n regular P del ointervalo con 5 subintervalos (n = 5). Determine la suma de Riemann correspondiente a dicha partici´n regular P, tomando x∗ = xi (extremo derecho del intervalo [xi−1 , xi ]). o i Notemos que ∆i x =3−1 = 2 . Entonces x0 = 1, x1 = 7 , x2 = 9 , x3 = 5 5 5 5 x5 = 3. Por lo tanto, la suma de Riemann correspondiente es
5 11 , 5

x4 =

13 5

y

S=
i=1

f (x∗ )∆i x = 5 i

49 81 121 169 225 ++ + + 25 25 25 25 25

2 5

= 2(645) = 1290.
x4 16

b) Encuentre la longitud de la curva C determinada por la gr´fica de y = a el intervalo [1, 2]. 3 1 Primero observemos que dy/dx = x − x3 .Por lo tanto, 4 1+ dy dx
2

+

1 2x2

sobre

=1+ 1+
2

x3 1 − 3 4 x =
x3 4

2

1 x6 1 1 x6 1 − + 6 = + + 6 = =1+ 16 2 x 16 2 x para x > 0. Utilizando esto,
2

x3 1 + 3 4 x

2

Esdecir que L(C) =

dy 2 dx

+
2

1 , x3

1+
1

dy dx

dx =
1

1 x3 + 3 4 x

dx =

1 x4 − 2 16 2x

2 1

=

21 . 16

2.- Utilice el Teorema Fundamental del C´lculo en lossiguiente problemas a a) Suponga que f es una funci´n diferenciable en R y F est´ definida como o a
y

F (y) =
0

s2 f (s) ds.

Si f (1) = 0 y f (1) = 1, verifique que F (1) = 1. Del TFC, F (y) =y 2 f (y). Por lo tanto, F (y) = 2yf (y) + y 2 f (y). As´ que ı F (1) = 2f (1) + f (1) = 1. b) Encontrar una funci´n continua f para z > 0 tal que o
z3 2

√ 3 (5 + t)f (t) dt +

1 2z

√

1 +t3 dt = 5z 2

Derivando en ambos lados y aplicando el TFC,
2 3

√ √ 10z + 2 1 + 8z 3 3 = 10z ⇔ f (z 3 ) = 3z (5 + z)f (z ) − 2 1 + 8z 3z 2 (5 + z)
√ √ 3 10 √ t+2 1+8t √ . 3( 3 t)2 (5+ 3 t)

Esdecir que f tiene la forma f (t) =

1

Para los siguientes problemas considere las funciones definidas como y = (x − 2)2 e y = 2x − 4 (cortes: x = 2, x = 4)

3.- Sea R la regi´n limitada...