campo magntico

Ejercicios resueltos
Bolet´ın 6
Campo magn´etico

Ejercicio 1
Un electr´on se acelera por la acci´on de una diferencia de potencial de 100 V y, posteriormente, penetra en una regi´on en la que existe un campo magn´etico uniforme de 2 T,
perpendicular a la trayectoria del electr´on. Calcula la velocidad del electr´on a la entrada
del campo magn´etico. Halla el radio de la trayectoria querecorre el electr´on en el interior
del campo magn´etico y el periodo del movimiento.

Soluci´
on 1
1. Aplicando la ley de la conservaci´on de la energ´ıa mec´anica al movimiento del electr´on
dentro del campo el´ectrico, y suponiendo que el electr´on est´a inicialmente en reposo,
se tiene:
1
∆Ec + ∆Ep = 0;
m v 2 = −q ∆V
2
Despejando:
v=

−2 q ∆V
=
m

−2 · (−1,6 · 10−19 ) · 100
=6 · 106 m/s
9,1 · 10−31

2. Al penetrar el electr´on perpendicularmente al campo magn´etico, act´
ua una fuerza
sobre ´el perpendicular a la velocidad y por ello describe una ´orbita circular.

R
F

v

1

Aplicando la segunda ley de Newton:
F = m aN ;

|q| v B sin 90◦ = m

v2
R

Despejando:
mv
9,1 · 10−31 · 6 · 106
R=
=
= 1,8 · 10−5
−19
|q| B
1,6 · 10
·2
3. Elperiodo del movimiento es:
T =

2 π 1,7 · 10−5
2πR
=
= 1,8 · 10−11 s
6
v
6 · 10

Ejercicio 2
En una regi´on del espacio donde existe un campo magn´etico uniforme B se lanza una
part´ıcula cargada con velocidad v = v ı, observ´andose que no se desv´ıa de su trayectoria.
¿Cu´al ser´a la trayectoria al lanzar la part´ıcula con una velocidad v ′ = v ? Representa
dicha trayectoria en loscasos de que la carga sea positiva y negativa.

Soluci´
on 2
Si la part´ıcula no se desv´ıa de su trayectoria significa que se lanza en la direcci´on del
campo magn´etico. Por tanto, este tiene la direcci´on del eje X en cualquiera de sus dos
sentidos.
Asignando al campo magn´etico la expresi´on B = B ı y eligiendo el sistema de referencia
de la figura adjunta, se tiene que las expresionesde la fuerza magn´etica en los dos casos
son:
Y

v
F
B
q(+)

Z

Carga positiva: F+ = q (v × B) = q v B ( × ı) = q v B (−k)
2

X

Y

v

B
F

X

q(−)

Z

Carga negativa: F− = q (v × B) = −q v B ( × ı) = q v B k
El m´odulo de la fuerza es constante y la direcci´on es siempre perpendicular a la velocidad de la part´ıcula, por lo que genera una aceleraci´on normal. La´orbita es circular,
recorrida con velocidad constante y est´a contenida en el plano formado por F y v. En los
dos casos la ´orbita est´a contenida en el plano Y Z.

Ejercicio 3
Dos is´otopos de un elemento qu´ımico, cargados con una sola carga positiva y con masas
de 19,91 · 10−27 kg y 21,59·−27 kg, respectivamente, se aceleran hasta una velocidad de
6,7 · 105 m/s. Seguidamente, entran enuna regi´on en la que existe un campo magn´etico
uniforme de 0,85 T y perpendicular a la velocidad de los iones. Determina la relaci´on entre
los radios de las trayectorias que describen las part´ıculas y la separaci´on de los puntos de
incidencia de los is´otopos cuando han recorrido una semicircunferencia.

Soluci´
on 3

2R 2
2R 1

F
v

3

1. Al entrar las part´ıculasperpendicularmente al campo magn´etico, act´
ua sobre ellas
la fuerza de Lorentz que les obliga a describir una trayectoria circular. Aplicando la
segunda ley de Newton, se tiene:
v2
mv
⇒R=
R
|q| B
Denominando R1 al radio de la trayectoria del is´otopo de menor masa y R2 al radio
de la trayectoria del otro is´otopo, resulta que:
m1 v
m2 v
R1 =
; R2 =
|q| B
|q| B
Como los is´otopos tienen lamisma carga el´ectrica, cuanto mayor es la masa de la
part´ıcula mayor es el radio de la trayectoria. Dividiendo miembro a miembro las dos
ecuaciones, queda que la relaci´on de radios es:
F = m aN ;

|q| v B sin ϕ = m

m1
19,91 · 10−27
R1
=
=
= 0,922
R2
m2
21,59 · 10−27
2. Despu´es de recorrer una semicircunferencia, los iones inciden en puntos situados a
una distancia d = 2 R...