Campos

Ley de Gravitación de Newton

Ley de Gravitación
Universal

La fuerza gravitacional entre dos masas m1 y m2 ,
separadas por una distancia r es
F12 = −G

m1m2
r12
2
r

G = 6.67 × 10−11N m2/kg2 es la constante de
gravitación de Newton, r12 es el vector unitario con
origen en la partícula 1 y que apunta a la partícula 2.

2

Balanza de Cavendish

Ejemplo 1. 3 bolas de billar de 0.300-kg se ponensobre una mesa en las posiciones que muestra la figura.
Calcule la fuerza gravitacional sobre m1 debida a las
otras bolas.

Fx = 6.67 × 10−11 × 0.09/0.09 = 6.67 × 10−11
F y = 6.67 × 10−11 × 0.09/0.16 = 3.75 × 10−11

Variación de la aceleración de gravedad

3

con la altura
mg =

g(h) =

GMm
(RT + h)2

GM
(RT + h)2

Ejemplo 2. Densidad de la Tierra.
Sabiendo que g = 9.8m/s2, encuentre la densidadde la
Tierra
M
3g
GM
6
,
ρ
=
=
,
R
=
6.4
×
10
m
T
3
2
4
4πGR
RT
T
πRT
3
ρ
=
3x9.8
=
4x3.14x6.67x10−11x6, 4x106
29.4
x103 = 5.5x103kg/m3
5.35
g=

Leyes de Kepler
A partir de la ley de Gravitación y de las leyes
de la mecánica se obtienen las leyes de Kepler del
movimiento planetario:
1) Los planetas se mueven en elipses, con el Sol en uno
de los focos.
4

2) La línea que une el planeta con el Sol,barre áreas
iguales en tiempos iguales. Esta ley se deduce de la
R , lo cual se
conservación del momentum angular L
deriva del carácter central de la fuerza:
R = Rr × mv
L
R = constante

Se tiene:

θ
Rv (t)dt
Rr (t)
Rr (t + dt)

1
dA 1
dA = r(t)v(t)sen θdt.
= |r
R (t) × Rv (t)| = constante
2
dt 2

5

3)El cuadrado de los períodos de los planetas es
proporcional al cubo de la distancia media alSol.
Demostraremos esta ley para órbitas circulares:
La segunda ley de Newton da:
v2
Mm
m =G 2
r
r
pero v =

2πr
,
T

donde T es el período. Se tiene:
4π 2 3
r =T2
GM

La ley de gravitación y el movimiento de
los planetas
aceleración de la Luna comparada con la aceleración g
6.37 × 106
aL (1/RL)2
=
=
2
(1/RE )
3.84 × 108
g

2

= 2.75 × 10−4

aceleración centrípeta de la Luna:
aL = 2.7 × 10−3m/s2Cálculo directo:
2π
v2
= ω 2RL =
aL =
T
RL

2

RL = 2.72 × 10−3m/s2
6

Muy parecidas!
Ejemplo 3. Encuentre la masa del Sol, usando TT =
3.156 × 107s,DT = 1.496 × 1011m
4π 2 3
4π 2 3
2
r = T , MS =
DT
GM
GTT2
4x3.142x1.53x1033 133.1
30
30
=
x10
=
1.9x10
68.6
6.7x10−113.221014
R:1.99 × 1030kg.
Ejemplo 4. Si la velocidad de un satélite en su apogeo
es v p, encuentre su velocidad en el perigeo v p.

L p= mv pr p = La = mvara
r
v p = a va
rp
7

Campo gravitacional.
Partícula de prueba de masa m:
R (x
F
R)
Rg = lim
m→0 m
Rg es el campo gravitaciona en Rx .

Conocido el campo gravitacional, se tiene:
R = m Rg
F

Campo gravitacional de una parícula de masa M :
Rg = −GM

8

rˆ
r2

Energía potencial Gravitacional

rf

∆U = U f − Ui = −

ri

drF (r), F (r) = −

Gm1m2
r2

La energía potencialgravitacional está dada por:
U = −G

m1m2
, U (∞) = 0
r

9

Consideremos 3 partículas:

Utotal = −G

m1m2 m1m3 m2m23
+
+
r12
r13
r23

En general:
U = −G

d3x1d3x2

10

ρ(x
R 1)ρ(x
R 2)
|x
R 1 − Rx2|

Ejemplo 5. Encuentre la energía potencial
gravitacional para una partícula de masa m a una
distancia y sobre la superficie de la Tierra.

Energía en el movimiento de planetas y
satélites
1
GMm
E = K + U =mv 2 −
= constante
2
r
Para un sistema acotado E < 0.
Ejemplo 6. Movimiento circular
v 2 GmM
m =
r2
r
1
1 GmM
K = mv 2 =
2
2 r
1 GmM
E =−
= −K
2 r
Ejemplo 7. El space shuttle libera un satélite de
comunicaciones de 470 kg. en una órbita 280 km. sobre
la superficie de la Tierra. Un cohete del satélite pone a
éste en una órbita geosincrónica, tal que el satélite está
siempre sobre el mismo punto dela Tierra. Cuánta
energía tuvo que proveer el cohete?
1 GmM
2 ri
GmM
mωT2 r f =
r 2f
1 GmM
Ef = −
=
2 rf
Ei = −

11

rf = 3

GM
ωT2

1
GM GM
E f − Ei = m
−
2
ri
rf
E f − Ei = 1.19 × 1010J

ri = 6.65 × 106m

Velocidad de escape
Consideremos un cuerpo celeste esférico de masa M
y radio R. Si disparamos una partícula radialmente
hacia afuera con velocidad v0, se tiene la conservación
de la...