CamposFinitos

Campos Finitos
Roberto G´
omez C´ardenas

March 24, 2009

Roberto G´
omez C´
ardenas

Campos Finitos

1

Aclaraci´on

La mayor parte de este material proviene del cap´ıtulo 4 Finite
Fields del libro:
Cryptography and Network Security, Principles and Practices
William Stallings
Ed. Prentice Hall
3a. Edici´on, 2003
ISBN: 0-13-091429-0
P´aginas: 103-137

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Tipos de n´umeros
N´
umeros naturales N: usados para cuantificar objetos
N = {1, 2, 3, ...}
N´
umeros enteros Z : se a˜
nade 0 y todos los n´
umeros que
aparecen al cambiar el signo a los naturales
Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
N⊂Z
N´
umeros racionales Q: se incorporan las fracciones
Q = { ba |a, b ∈ Z y b = 0}
Z ⊂Q
N´
umeros irracionales I : todos los n´
umeros decimales cuya
partedecimal tienen infinitas cifras no periodicas
N´
umeros reales R: uni´
on n´
umeros racionales e irracionales
R =Q ∪I
N´
umeros imaginarios: Im: resultados de obtener la ra´ız
cuadrada de un n´
umero negativo.
N´
umeros complejos: par de n´
umeros, uno de tipo real y otro
de tipo imaginario, expresados de la siguiente forma: a ± bi
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Grupos

Un grupo G, algunas veces denotado por {G , •} es un conjunto de
elementos con una operaci´
on binaria •, que asocia a cada par
ordenado (a, b) de elementos en G un elemento (a • b), de tal
forma que los siguientes axiomas se deben cumplir:
1

Cerradura Si a y b pertenecen a G, entonces a • b tambien se
encuentra en G

2

Asociativa a • (b • c) = (a • b) • c para toda a, b, c en G .

3

Elemento deidentidad Existe un elemento e en G tal que
a • e = e • a = a para toda a en G .

4

Elemento sim´
etrico Para cada a en G existe un elemento a
en G tal que a • a = a • a = e

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Tipos de grupos

1

Grupo finito si el grupo cuenta con un n´
umero finito de
elementos. El orden del grupo es el n´
umero de elementos.

2

Grupo infinito el n´
umero de elementos esinfinito.

3

Grupo abeliano si satisface la siguiente condici´on adicional
(conmutativa):
a • b = b • a para toda a, b en G
Llamados as´ı en honor al matemtico noruego Niels Henrik Abel.

Ejemplos grupos abelianos
El conjunto de enteros (positivos, negativos y cero) bajo la
operaci´
on de suma. El conjunto de n´
umeros reales diferentes a
cero y bajo la operaci´on de multiplicaci´
on.

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Ejemplos Grupos Abelianos

1

Los conjuntos de n´
umeros, (Z , +), (Q, +), (R, +) donde la
operaci´on + es la adici´
on.

2

(N, +) NO es un grupo ya que no cuenta con neutro aditivo,
ni inverso de cada elemento

3

(R, ×) donde × es la multiplicaci´
on, NO es un grupo, ya que
el 0 no tiene inverso multiplicativo.

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6Grupo c´ıclico
Se define la exponenci´
on dentro de un grupo como la
aplicaci´on repetitiva del operador de grupo, de tal forma que
a3 = a • a • a
Tambi´en se define: a0 = e como el elemento de identidad; y
a−n = (a )n .
Un grupo G es c´ıclico si cada elemento de G es una potencia
ak (siendo k un entero) de un elemento fijo de a ∈ G .
Se dice que el elemento a genera el grupo G , o que es ungenerador de G .
Un grupo c´ıclico siempre es abeliano, y puede ser finito o
infinito.
Ejemplo grupo c´ıclico
El grupo aditivo de enteros es un grupo c´ıclico infinito generado
por el elemento 1. En este caso, las potencias son interpretadas
aditivamente, de tal forma que n es el e − nesima potencia de 1.
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Anillos
Un anillo A algunas veces denotados por{A, +, x} es un conjunto
de elementos con dos operaciones binarias, llamadas adici´on y
multiplicaci´on, de tal forma para todas a, b, c en A los siguientes
axiomas se cumplen:
1

A es un grupo abeliano con el respecto a suma si satisface los
axiomas relacionados con dicho grupo. En el caso de un grupo
aditivo, el elemento identidad es 0 y la inversa de a es a.

2

Cerradura bajo multiplicaci´...