Cap1v2 1

Cap´ıtulo 1

Espacios de Probabilidad
1.1.

Introducci´
on

El objetivo de la Teor´ıa de Probabilidad es desarrollar y estudiar modelos matem´aticos para experimentos cuyos resultados no pueden predecirse con exactitud. Aun cuando la historia de la teor´ıa de
probabilidades tiene ya varios siglos, y muchos autores considera que se inici´o con la correspondencia
entre Blaise Pascal y Pierre deFermat sobre juegos de azar en el siglo XVII, se puede decir que no fue
hasta el siglo XX cuando esta teor´ıa alcanz´o un desarrollo notable.
Uno de los principales problemas por los cuales esto no ocurri´o antes fue la ausencia de una axiomatizaci´on adecuada de las probabilidades, que le diese una base s´olida y le permitiese desarrollarse al igual
que otras ramas de la Matem´atica. En 1933, A. N.Kolmogorov propone una axiomatizaci´on usando las
ideas de la Teor´ıa de Medida, desarrollada a principios del siglo XX por H. Lebesgue. Esta axiomatizaci´on
propone modelar los experimentos que tienen comportamiento aleatorio usando un espacio de medida.
Aun cuando el desarrollo pleno de estas ideas est´a m´as all´a del alcance del material que presentamos,
vamos a considerar este enfoqueaxiom´atico en las pr´oximas secciones, presentando numerosas aplicaciones
de estas idea.
Para comenzar haremos una breve revisi´on sobre las nociones b´asicas de la Teor´ıa de Conjuntos y
recordamos las principales operaciones que se definen entre ellos y sus propiedades.

1.2.

Conjuntos

Definici´
on 1.1 Un conjunto es una colecci´on de objetos.
Los objetos que forman la colecci´on pueden ser objetosf´ısicos o no, como, por ejemplo, los carros
matriculados en determinada ciudad o los tornillos producidos en una f´abrica en un per´ıodo dado de
tiempo, en el primer caso, o las letras del alfabeto, los n´
umeros naturales o los unicornios en el segundo.
Usamos letras may´
usculas para denotar conjuntos: A, B, C, . . . , etc.
Definici´
on 1.2 Los objetos que forman la colecci´on se conocen como loselementos del conjunto. Decimos
que los elementos pertenecen al conjunto y usamos letras min´
usculas para denotarlos: a, b, c, . . . , etc.
Usamos la notaci´on a ∈ A para indicar que el elemento a pertenece al conjunto A y b ∈
/ B para indicar
que b no pertenece a B.
Para describir un conjunto lo podemos hacer por extensi´on, es decir, listando todos los elementos
del conjunto. En este caso laconvenci´on es escribir la lista de los elementos entre llaves {}. Por ejemplo
A = {a, e, i, o, u}; B = {2, 4, 6, 8}. La lista no debe tener elementos repetidos. Tambi´en podemos describir
un conjunto dando una regla que determine sin ambig¨
uedades si un elemento dado pertenece o no al

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ITULO 1. ESPACIOS DE PROBABILIDAD

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conjunto. Por ejemplo, podemos decir que A es el conjuntos de lasvocales y B es el conjunto de los
n´
umeros pares positivos menores que 10.

1.3.

Subconjuntos

Definici´
on 1.3 Dados dos conjuntos A y B, si todo elemento de A tambi´en es elemento de B decimos
que A es un subconjunto de B. Usamos la notaci´on A ⊂ B en este caso, o tambi´en B ⊃ A, y decimos
que el conjunto B contiene al conjunto A.
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, esdecir si A ⊂ B y B ⊂ A.
Ejemplos 1.1
1. Si A es el conjuntos de las vocales y B es el conjunto de las letras del alfabeto, entonces A ⊂ B, ya
que toda vocal es una letra.
2. El conjunto de los n´
umeros naturales N es un subconjunto del conjunto de los n´
umeros enteros Z,
que a su vez es un subconjunto de los n´
umeros racionales Q:
N ⊂ Z ⊂ Q.
3. El conjunto de los tornillos defectuosos producidospor una m´aquina en un d´ıa dado es un subconjunto del conjuntos de todos los tornillos producidos por la m´aquina ese d´ıa.
Los conjuntos que consideramos son siempre subconjuntos de un conjunto mayor, que los contiene
a todos, y que se conoce como el espacio o universo. Este conjunto incluye a todos los elementos que
cualquier conjunto puede contener. Ejemplos de espacios que usaremos m´as...