cap4 Dinamica

1

Choque entre dos part´ıculas

En este cap´ıtulo consideraremos la colisi´
on entre dos part´ıculas. Para empezar
consideraremos el choque de dos cuerpos en una dimensi´
on, y luego veremos
colisiones en el plano. Consideremos pues dos cuerpos que se desplazan a lo largo
de una misma l´ınea recta. Llamemos m1 y m2 a las masas de los cuerpos. En
el caso de un choque, las fuerzas internas entrelos cuerpos que chocan (fuerzas
normales o de reacci´on entre los cuerpos) son muy grandes comparadas con las
posibles fuerzas (e.g., el peso) que act´
uan sobre ellas. Adem´as el choque ocurre
en un tiempo muy breve. As´ı pues podemos despreciar la acci´on de cualquier
fuerza externa sobre las part´ıculas. Como solo consideraremos las fuerzas de
reacci´on interna entre los cuerpos que chocan, elmomentum lineal total del
sistema se conserva durante el choque, i.e., el momentum lineal total justo antes
del choque es igual al momentum lineal total del sistema justo despu´es del
choque.
Como discutiremos primero choques unidimensionales, todas las cantidades
como velocidades y momenta que consideraremos son escalares.
Llamemos v1 y v2 a las velocidades de las part´ıculas de masa m1 y m2respectivamente, justo antes del choque. Por su parte, llamemos v1′ y v2′ a las
velocidades de las mismas part´ıculas justo despu´es del choque. Como hemos
argumentado, el momentum lineal del sistema de dos part´ıculas se conserva, de
modo que
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1′ + m2 v2′ .
(1)
A partir de ete punto distinguiremos dos tipos de colisiones el´
asticas e
inel´
asticas. Diremos que un choque esel´astico si se conserva la energ´ıa cin´etica
del sistema durante el choque. De lo contrario diremos que la colisi´
on es
inel´astica.
Veamos primero las colisiones el´asticas.
En t´erminos de las variables que introdujimos m´as arriba, la conservaci´
on
de energ´ıa cin´etica durante el choque se expresa como
1
1
1
1
2
2
m1 v12 + m2 v22 = m1 v ′ 1 + m2 v ′ 2 .
2
2
2
2

(2)

El sistema (1), (2) es unsistema de dos ecuaciones algebraicas para las
inc´
ognitas v1′ , v2′ que son las velocidades de los cuerpos justo despu´es del choque.
La forma m´as simple de resolver este sistema consiste en reescribir las dos ecuaciones anteriores, de modo que todas las cantidades que involucran a una misma
part´ıcula se encuentren al mismo lado de cada ecuaci´
on, es decir
m1 (v1 − v1′ ) = −m2 (v2 − v2′ ),

(3)y
2

2

m1 (v12 − v ′ 1 ) = −m2 (v22 − v ′ 2 ),

(4)

respectivamente. N´
otese que hemos simplificado el factor 1/2 en la u
´ ltima
ecuaci´
on. Ahora podemos dividir la ecuaci´
on (4) por la ecuaci´
on (3). Al dividir debemos tener en consideraci´on dos posibilidades. O el factor v1 − v1′ = 0
(y por lo tanto lo mismo ocurre con el t´ermino an´alogo que ata˜
ne a la part´ıcula
2), ´
o es diferentede cero. Dicho factor es cero cuando las dos part´ıculas en efecto
no colisionan (porque una no alcanza a la otra), y por lo tanto las velocidades
1

de cada una de ellas no cambia. Por lo tanto, si efectivamente ocurre la colisi´
on,
el factor en cuesti´on es no nulo, y lo podemos simplificar al dividir, de modo
que obtenemos
v1 + v1′ = +(v2 + v2′ ).
(5)
Podemos reescribir esta u
´ltima ecuaci´on como
v2 − v1 = −(v2′ − v1′ ).

(6)

La cantidad |v2 − v1 | representa la rapidez relativa de la part´ıcula 2 con respecto
a la part´ıcula 1. Podemos interpretar entonces (6) como la conservaci´
on de la
rapidez relativa entre las part´ıculas durante el choque. Finalemente resolvemos
(3) y (4) para v1′ y v2′ (estas son ahora dos ecuaciones lineales). Resolviendo
obtenemos,
m1 − m2
2m2 v2
v1′ =v1 +
,
(7)
m1 + m2
m1 + m2
y
2m1 v1
m2 − m1
v2 +
,
(8)
v2′ =
m1 + m2
m1 + m2
respectivamente.
Comentarios:
i) Uno puede concluir de inmediato a partir de estas dos expresiones que si las
masas de las part´ıculas son iguales (i.e., si m1 = m2 ), entonces las part´ıculas
durante el choque intercambian sus velocidades, i.e., v2′ = v1 y v1′ = v2 respectivamente.
ii) Tambi´en uno puede comprobar de...