Cargas Impulsivas Integral De Duhamel

CARGAS IMPULSIVAS: Integral de Duhamel
Osciladores simples equivalentes: cálculo de rigideces y masas
1) Viga en voladizo

uM = F =

1 1
L ⋅ L2
EI 3

EI
mL4
K 3EI
ω%12 =
=
M ML3

ω12 = 1.8754 ⋅

(*)

(*)

K = F −1 =

⇒

EI , m

3EI
L3

⎫
⎪⎪
⎬ M = 0.243 ⋅ mL
⎪
⎪⎭

L

MfMAX = 1·L (carga unitaria)
3EI
MfMAX =
(despl. unitario)
L2

Valor exacto para una viga con masa
uniformemente distribuida m.QMAX =

3EI
(despl. unitario)
L3

Viga bi-articulada
uM = F =

2 1 L⎛L⎞
⎜ ⎟
EI 3 2 ⎝ 4 ⎠

(*)

⇒

K = F −1 =

⎫
⎪⎪
⎬ M = 0.493 ⋅ mL
⎪
⎪⎭

(*)

EI
ω =π ⋅ 4
mL
K 48 EI
ω%12 =
=
M
ML3
2
1

2

4

Valor exacto para una viga con masa
uniformemente distribuida m.

48EI
L3

EI , m

K =2

12 EI

( L 2)

M MAX
=
f

3

=

6 EI

( L 2)

2

MfMAX = 1·L/4 (carga unitaria)
12EI
MfMAX =
(despl. unitario)
L2

(*)

ML

24 EI
L2

(*)

EI
mL4
K 192 EI
ω%12 =
=
M
ML3

ω12 = 4.7304 ⋅

24EI
(despl. unitario)
L3

EI , m

192 EI
L3

=

M

L

QMAX =
2) Viga bi-empotrada

M

⎫
⎪⎪
⎬ M = 0.384 ⋅ mL
⎪
⎪⎭

Valor exacto para una viga con masa
uniformemente distribuida m.

MfMAX =

24EI
(despl. unitario)
L2

QMAX =

96EI
(despl. unitario)
L3

Ejemplos

Sea una viga simplemente apoyada (bi-articulada) con las siguientespropiedades:
L = 4m

E = 3 ⋅106 tn m 2

b ⋅ h3 0.2 ⋅ 0.43
=
= 1.067 ⋅10−3 m 4
12
12
48 ⋅ EI
= 2400 tn m
K=
L3

I=

EI = 3200 tn ⋅ m 2

2.5 tn m3
m = δ ⋅b ⋅ h =
⋅ 0.2 m ⋅ 0.4 m = 0.02039 tn ⋅ s 2 m 2
2
9.81 m s
M ≈ 0.50 ⋅ m ⋅ L = 0.04078 tn ⋅ s 2 m

ω = K M = 2400 0.04078 = 242.6 rad / seg
2π
T=
= 0.02590 seg
ω

;

ξ = 0 ⇒ ωD = ω

Calcular los esfuerzos máximos producidos por las cargas impulsivasindicadas que poseen el
mismo valor de impulso (I), definido como:
tD

I = ∫ P ( t ) ⋅ dt = 0.10 tn ⋅ seg
0

P(t)

P(t)

P(t)

PA

PC

PB
[A]
tD

[C]

[B]

t

tD

t

tD

t

Carga

Caso 1: t D = 0.1 seg

Caso 2: t D = 0.01 seg

Caso 3: t D = 0.001 seg

[A]

PA = 2 tn

PA = 20 tn

PA = 200 tn

[B]

PB = 2 tn

PB = 20 tn

PB = 200 tn

[C]

PC = 1tn

PC = 10 tn

PC = 100 tn

PA ⎡
t sin (ωt ) ⎤
⎢1 − cos(ωt ) − +
⎥
2
ω M⎣
tD
ωt D ⎦
{
14444
4244444
3
U est

t ≤ tD

CASO 1

Carga [A]
U (t ) =

γ (t )

U (t ) =

sin (ω ( t − t D ) ) sin (ωt ) ⎤
PA ⎡
+
⎢ − cos (ωt ) −
⎥
2
ω M ⎣⎢
ωt D
ωt D ⎦⎥
{
1444444424444444
3
U est
γ (t )

t ≥ tD

t D T = 3.86

γ MAX = γ = 1.87

⇒

MAX
U din
= γ ⋅ U est = γ

PA
2
= 1.87
= 1.558 ⋅10−3 m
K
2400

Carga [B]
U (t ) =

sin (ωt ) ⎤
PB ⎡ t
+
⎢
⎥
2
ω M ⎣ tD 2 ω tD 2 ⎦
{144
42444
3
U est

t ≤ tD 2

γ (t )

U (t ) =

sin (ω ( t − t D 2 ) ) sin (ωt ) ⎤
PB ⎡
t
2
−
+
2
−
⎢
⎥
ω 2 M ⎣⎢ t D 2
ω tD 2
ω t D 2 ⎦⎥
{
14444444244444443
U est

tD 2 ≤ t ≤ tD

γ (t )

U (t ) =

PB ⎡ sin (ω ( t − t D 2 ) ) sin (ω ( t − t D ) ) sin (ωt ) ⎤
−
+
⎢2
⎥
2
ω
M
ω
t
2
ω
t
2
ω tD 2 ⎥⎦
⎢
D
D
{⎣
144444444
42444444444
3
U est
γ (t )

t D T = 3.86
MAX
U din
=γ

⇒

γ MAX = γ = 1.04

PB
2
= 1.04= 0.867 ⋅10−3 m
K
2400

Carga [C]
U (t ) =

PC
⎡1 − cos (ωt ) ⎤⎦
4244
3
ω 2 M ⎣14
{
U est

U (t ) =

t ≤ tD

γ (t )

PC
⎡cos (ω ( t − t D ) ) − cos (ωt ) ⎤⎦
ω 2 M ⎣14444244443
{
γ (t )

U est

t D T = 3.86
MAX
U din
=γ

⇒

γ MAX = γ = 2.00

PC
1
= 2.00
= 0.833 ⋅10−3 m
K
2400

CASO 2

Carga [A]
t D T = 0.386
MAX
U din
=γ

⇒

γ = 1.01

PA
20
= 1.01
= 8.417 ⋅10−3 m
K
2400

Carga [B]
t D T = 0.386MAX
U din
=γ

⇒

γ = 1.06

PB
20
= 1.06
= 8.833 ⋅10−3 m
K
2400

t ≥ tD

t ≥ tD

Carga [C]
t D T = 0.386
MAX
U din
=γ

⇒

γ = 1.87

PC
10
= 1.87
= 7.792 ⋅10−3 m
K
2400

CASO 3

Carga [A]
t D T = 0.0386
MAX
U din
=γ

γ = 0.121

⇒

PA
200
= 0.121
= 10.08 ⋅10−3 m
K
2400

Carga [B]
t D T = 0.0386
MAX
U din
=γ

γ = 0.121

⇒

PB
200
= 0.121
= 10.08 ⋅10−3 m
K
2400

Carga [C]
t D T = 0.0386
MAX
U din
=γ

γ =0.242

⇒

PC
100
= 0.242
= 10.08 ⋅10−3 m
K
2400

Cargas consideradas como impulsos

Cuando la duración de la carga es muy pequeña respecto al período, la respuesta sólo depende
del “área bajo la curva” de la función de carga (impulso) que el sistema siente como una
velocidad inicial:
U& 0 = I M
U&
U ( t ) = 0 sin (ωt )

ω

⇒

MAX
U din
=

U& 0

ω

Carga [A]
PA ⋅ t D
2
U&
P ⋅t
π ⋅ t D PA
2π
MAX...