Carolina

Teorema de Varignon
Es un teorema descubierto por primera vez por el matemático neerlandés Simon Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1724 en su tratado Nouvelle mécanicque, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los matemáticos franceses de su época,decidió trasladar las ideas expuestas por Newton a la notación y al enfoque que sobre el análisis daba Leibniz.

Enunciado y Demostración

El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino comoentelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.
Su enunciado, según la terminología actual, vendría a ser:
"El momento resultante sobre un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la sumavectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas."

Demostración

Sea un sistema de n fuerzas concurrentes, F1,F2,...,Fi,...,Fn, vectores en un espacio euclídeo, que tiene como punto de aplicacion un cierto punto A. El momento de cada fuerza Fi con respecto a O será: Mi = rxFi (producto vectorial). Nótese que escribimos r y no ri, ya que todas las fuerzas se aplican en el mismo punto. Elmomento de la resultante R es: M = rxR donde R = F1 + F2 + Fi + ... + Fn y r es nuevamente el vector posición común. Aplicando la propiedad del producto vectorial, tenemos
rxR = rx(F1 + F2 + Fi + ... + Fn)
rxR = rxF1 + rxF2 + rxFi + ... + rxFn) entonces
M = M1 + M2 + Mi + ... + Mn
Luego, efectivamente "el momento resultante es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzasaplicadas si estas son concurrentes.




Par de fuerzas

[pic]

Momento de un par de fuerzas.
Par de fuerzas es el sistema formado por dos fuerzas iguales, paralelas, y de sentido contrario.
Al aplicar un par de fuerzas a un cuerpo se produce un giro o rotación. Este giro depende del valor de las fuerzas que forman el par, de su sentido, y de la distancia entre ambas, llamada‘brazo del par’.
El momento de un par de fuerzas, M es una magnitud que tiene por valor el producto de una cualquiera de las fuerzas, por la distancia perpendicular entre ellas d.
M = F1 x d = F2 x d
Ver: Movimiento circular
Momento de fuerza
Se denomina momento de fuerza, torque, torca, o par (o sencillamente momento) [respecto a un punto fijado B] a la magnitud que viene dada por elproducto vectorial de una fuerza por un vector director (también llamado radio vector). Si se denomina F a una fuerza, aplicada en un punto A, su momento respecto a otro punto B viene dado por:
[pic]
Donde [pic]es el vector director que va desde B a A. Por la propia definición del producto vectorial, el momento [pic]es un vector perpendicular al plano formado por [pic]y [pic].
Seexpresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de Unidades resulta Newton·metro y se la puede nombrar como newton-metro o newtometro. Si bien es equivalente al julio en unidades, no se utiliza esta denominación para medir momentos, ya que el julio representa trabajo o energía que es un concepto diferente a un momento de fuerza.
El momento de fuerza esequivalente al concepto de par motor, es decir, la fuerza que se tiene que hacer para mover un cuerpo respecto a un punto fijo (Ej: un electrón respecto al núcleo) y se condiciona por la masa y la distancia.
[pic]


Cálculo de momentos en el plano
Cuando se consideran problemas mecánicos bidimensionales de fuerzas, en los que todas las fuerzas y vectores directores están...