Celula

Tema 7

Teoremas del c´lculo a diferencial
En este cap´ ıtulo se abordar´n algunos de los resultados m´s conocidos del a a c´lculo diferencial que, en general, se corresponden con generalizaciones adea cuadas de los cl´sicos teoremas del c´lculo de una variable: teorema del valor a a medio, teorema de Taylor, etc. Menci´n aparte merece, por el uso necesario o de varias variables en suformulaci´n, el teorema de la funci´n impl´ o o ıcita; resultado ´ste de mucha trascendencia tanto para el estudio posterior de e m´ximos y m´ a ınimos de funciones como el estudio, en cursos m´s avanzados, a de la teor´ y resoluci´n de ecuaciones diferenciales. ıa o

7.1.

Teorema del valor Medio

El teorema del valor medio, en funciones de una variable, trata del problema de evaluar la diferenciaf (x + t) − f (x) estableciendo la conocida f´rmula o f (x + t) − f (x) = f ′ (c)t suponiendo la existencia de la derivada f ′ y siendo c un punto del intervalo de extremos x y x + t. El problema de evaluar la diferencia f (x + h)−f (x) para funciones de varias variables, puede reducirse a un problema de funciones de una sola variable 148

introduciendo una variable adicional t y considerandola funci´n auxiliar o F (t) := f (x + th) − f (x) manteniendo fijas las variables x y h. Entonces, conforme t var´ de 0 a 1, ıa el punto de coordenadas x + th recorre el segmento rectil´ ıneo que une x con x + h. Suponiendo expresamente que las derivadas parciales son continuas y aplicando el Teorema del Valor Medio a F (t) en el intervalo [0, 1], se obtiene F (1) − F (0) = F ′ (θ) donde 0 < θ < 1.Por otra parte, aplicando la regla de la cadena se obtiene
n

F (t) =
i=1

′

hi

∂f (x + th) ∂xi

y, finalmente, si h = (h1 , . . . , hn ), resulta
n

f (x + h) − f (x) =

i=1

∂f (ξ)hi ∂xi

donde ξ es un punto del segmento rectil´ ıneo que une x y x + h. Este razonamiento se resume en Teorema 7.1 Sea f : D ⊆ Rn −→ R una funci´n con derivadas parciales o e continuas en D,siendo ´ste un conjunto abierto y convexo. Entonces para cada par de puntos x, x + h ∈ D se verifica
n

f (x + h) − f (x) =

i=1

∂f (ξ)hi ∂xi

donde ξ es un punto del segmento rectil´ ıneo que une x y x + h. Una aplicaci´n de este teorema se da en el c´lculo de errores. El problema o a a abordar consiste en conocer c´mo afecta al valor de una funci´n, el error o o cometido en la determinaci´ndel valor de las variables. o

149

Medici´n de errores o
En la mayor´ de los casos, los resultados obtenidos al utilizar aparatos ıa de medida para evaluar determinadas magnitudes contienen errores propios de las mediciones aproximadas que se realizan. A´n en el caso de obtener u medidas exactas, las operaciones llevadas a cabo por medio de ordenadores son simplemente aproximaciones. Estoes debido, fundamentalmente, a la precisi´n finita con que operan y almacenan los datos. Si a es un valor o ˜ aproximado de una cantidad a, llamaremos error absoluto la diferencia ǫ(a) = a − a ˜ Si ǫ(a) > 0 la aproximaci´n es por defecto y si ǫ(a) < 0 la aproximaci´n es o o por exceso. El error relativo de a se define como ǫr (a) = a−a ˜ ǫ(a) = , a a a=0

Esta expresi´n parece poco util, porque enrealidad a es una cantidad que o ´ se desconoce. Por esta raz´n, cuando |ǫ(a)| ≪ |˜|, suele utilizarse la aproxio a maci´n o ǫ(a) ǫr (a) ≈ a ˜ En la pr´ctica suelen utilizarse cotas de estos errores. Una cota del error a absoluto de a es un n´mero real positivo M tal que u |ǫ(a)| ≤ M De un modo similar, una cota del error relativo de a es un n´mero real u positivo N tal que |ǫr (a)| ≤ NPropagaci´n de errores o
Supongamos que tenemos n cantidades (datos obtenidos por medio de mediciones, c´lculos, etc.) agrupadas en un vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn a y sus correspondientes aproximaciones x = (˜1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . Suponga˜ x ˜ ˜ mos tambi´n que f es una funci´n de varias variables diferenciable en un e o 150

dominio bastante amplio f : Rn −→ R x −→ f (x) x ˜ −→...