centro de masa

CALCULO DE CENTROS DE MASA
EXPRESION GENERAL:
La posición del centro de masas de un sistema de partículas viene dada por la expresión:
!
rC .M . =
!
i ri
1619885-209550! m
00! m
i =
m
!
i ri
2229485-209550! m
00! m
i (1)
M
! i
i
donde M es la masa total del sistema de partículas.
Esta es una ecuación vectorial, cada una de lascomponentes de la posición del centro de masas vendrá dada por:
xC .M . =
! mi xi
i =
m
! mi xi
i y =
M C.M .
! mi yi
i =
m
! mi yi
i z =
M C .M .
! mi zi
i =
m
! mi zi
i (2)
M! i ! i ! i
i i i
Ejemplo: Sistema de 3 partículas:
m1 = 1kg, m2 = m3 = 2 kg,161925092075! m
00! m
!
i ri

2838450-13335!
00!
r1 = (1, ! 1, 0)m,

3815715-13335!
00!
r2 = (!1, 2, 1)m,

4806315-13335!
00!
r3 = (2, 2, 1)m
! i
(1, " 1, 0) + 2("1, 2, 1) + 2(2, 2, 1)
# 3 7 4 %
rC .M . =
=
! mi
i
1 + 2 + 2 m = $ 5 , 5 , 5 & m
PASO AL CONTINUO:
Cuando un sistema está formado por un número extremadamente grande de partículas(como es el caso de un sólido, un volumen líquido, etc.) Se realiza lo que se llama el paso al continuo que consiste en considerar el sistema constituido no por partículas individuales sino como un continuo de materia. En este caso se divide al sistema en pequeños diferenciales de masa dm, cada uno con su posición correspondiente. Las sumas de la expresión anterior se transformanahora en integrales (ya que en el límite estamos sumando un número infinitamente grande de cantidades infinitesimalmente pequeñas), y la expresión de la posición del centro de masas queda ahora:
!
rC .M . =
!
! r dm =
! dm
!
! r dm
M

" xC.M . =

! x dm
M

yC.M . =

! y dm
M

zC.M . =

! z dm
M

(3)
Si el cuerpo es filiforme (tiene forma de hilo o alambre) losdiferenciales de masa dm en que lo dividimos están asociados a diferenciales de longitud dl: dm = ! dl, donde λ es la densidad lineal (masa por unidad de longitud). Esta densidad lineal puede ser constante o no. En caso de que sea constante puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador simplificándose. Las integrales se transforman en integrales de longitud y las ecuaciones (3) quedanen este caso:
xC .M . =
! x dl y =
L C.M .
! y dl z =
L C .M .
! z dl (4)
L
donde L es la longitud total del cuerpo.
Si el cuerpo tiene forma de placa los diferenciales de masa dm en que lo dividimos están asociados a diferenciales de área dA: dm = ! dA, donde σ es la densidad superficial (masa por unidad de superficie). Estadensidad superficial puede ser constante o no. En caso de que sea constante, igual que en el caso anterior, puede salir fuera de las integrales en el numerador y el denominador simplificándose. Las integrales se transforman en integrales de superficie y las ecuaciones (3) quedan en este caso:
xC .M . =
! x dA y =
A C.M .
! y dA z =
A C .M .! z dA (5)
A
donde A es la superficie total del cuerpo.
Por último, si el cuerpo es volúmico los diferenciales de masa dm en que lo dividimos están asociados a diferenciales de volumen dV: dm = ! dV , donde ρ es la densidad volúmica (masa por unidad de volumen). Esta densidad lineal puede ser constante o no. En caso de que sea constante, como en los dos casos anteriores,...