Ceros de funciones polinómicas

CEROS DE FUNCIONES POLINOMICAS

Lo que se quiere resolver en este capitulo es el problema de hallar las raíces de funciones y en particular de funciones polinómicas. Existen muchos métodos que aproximan estas raíces, la escogencia del método depende de si necesita todas las raíces (si el polinomio es de grado muy grande) o si son raíces complejas, un caso particular en polinomios es lamultiplicidad de las raíces (para lo cual trataremos de forma analítica); además trataremos un método para raíces complejas (Muller y Baristow).

Preliminares sobre polinomios

Consideremos un polinomio con coeficientes reales de grado n:



Con y .

Definición

Sea p(x) un polinomio de una variable real o compleja con coeficientes reales. Un número a real se dice raíz de p(x) si p(a)=0,se dice que a tiene multiplicidad k en p(x) si existe un polinomio s(x) de grado n-k tal que s(a) ≠ 0 y p(x) = (x − a)ks(x). Si k = 1, entonces a recibe el nombre de raíz simple.

El teorema fundamental del algebra (ver Variable compleja con aplicaciones, David Wunsch pag 209 ) nos dice que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces entre reales compleja con sus respectivasmultiplicidades.

Ahora el problema radica en como determinar la multiplicidad de una raíz.

Cuando se tratan de hallar ceros de una función se pueden presentar dos tipos de raíces:

1. Simples
2. Con multiplicidad k

Si el polinomio que se nos da no esta en la forma anterior se procede de la siguiente manera:
a. Para saber la multiplicidad de a sabiendo que a es una raíz, consideramos lasucesión , hasta que sea diferente de cero. Este valor k es la multiplicidad de a en p(x)
b. Deflación: se refiere al método para remover una raíz conocida de una ecuación polinómicas conduciendo a una ecuación de grado mas bajo; se aplica dividiendo el polinomio original por donde k es el exponente de la raíz que tiene la multiplicidad.

Dada la dificultad de trabajar con los números complejosrespecto a los reales; si queremos comparar 2i con 3i no podemos determinar quien es mayor. Es decir el orden.

Empezaremos por hallar las soluciones reales, sin embargo la primera pregunta a solucionar es ¿Hay soluciones reales? Y si las hay ¿cuantas?, las secuencias de Sturm que veremos mas adelante solución estas dos preguntas.

El siguiente resultado nos indica un intervalo en el cualdebemos buscar las raíces reales:

Teorema: Todos los ceros de un polinomio se hallan en el disco cerrado cuyo centro esta en el origen del plano complejo y cuyo radio es
(Ver demostración en Análisis Numérico, David Kinkaid, Ward Cheney); si tomamos el polinomio , para hallar el intervalo donde se encuentran las raíces reales evaluamos
Luego ; es decir que ahora hacemos el análisis no entodos los reales sino en el intervalo (-3,3)

SECUENCIAS DE STURN
Considere que , sea una secuencia de polinomios. Que satisfaga las siguientes condiciones sobre un intervalo (a,b) de la recta real; Una secuencia tal es llamada secuencia de Sturn sobre un intervalo , donde cada a o b puede ser infinito. Si
1. El signo de es constante.
2. Si entonces
3. Si entonces para hsuficientemente pequeño
Definición
Considere que sea una secuencia de Sturn en y que sea un punto de en el que .
Definimos como el numero de cambios de signo de , siendo los valores cero ignorados. Si a es finita, entonces esta definida como donde  es tal que ninguna se anula en y similarmente para b cuando b es finita. Si , entonces esta definida como el numero de cambios designo de y en forma similar para cuando .
Teorema
El número de raíces reales distintas del polinomio en el intervalo es igual a si tanto como son diferentes de cero además si o o ambas son iguales a cero y la raíz es simple, el resultado cumple en si definimos como el numero de cambios de signo en cuando .
Nuestro interés principal aquí esta en la aplicación de este...