Cero De Funciones Polinomicas

CEROS DE FUNCIONES POLINOMICAS

Lo que se quiere resolver en este capitulo es el problema de hallar las raíces de funciones y en particular de funciones polinómicas. Existen muchos métodos que aproximan estas raíces, la escogencia del método depende de si necesita todas las raíces (si el polinomio es de grado muy grande) o si son raíces complejas, un caso particular en polinomios es lamultiplicidad de las raíces (para lo cual trataremos de forma analítica); además trataremos un método para raíces complejas (Muller y Baristow).

Preliminares sobre polinomios

Consideremos un polinomio con coeficientes reales de grado n:

[pic]

Con [pic] y [pic].

Definición

Sea p(x) un polinomio de una variable real o compleja con coeficientes reales. Un número a real se dice raíz dep(x) si p(a)=0, se dice que a tiene multiplicidad k en p(x) si existe un polinomio s(x) de grado n-k tal que s(a) ≠ 0 y p(x) = (x − a)ks(x). Si k = 1, entonces a recibe el nombre de raíz simple.

El teorema fundamental del algebra (ver Variable compleja con aplicaciones, David Wunsch pag 209 ) nos dice que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces entre reales compleja con susrespectivas multiplicidades.

Ahora el problema radica en como determinar la multiplicidad de una raíz.

Cuando se tratan de hallar ceros de una función se pueden presentar dos tipos de raíces:

1. Simples
2. Con multiplicidad k

Si el polinomio que se nos da no esta en la forma anterior se procede de la siguiente manera:
a. Para saber la multiplicidad de a sabiendo que a es una raíz,consideramos la sucesión [pic], hasta que [pic] sea diferente de cero. Este valor k es la multiplicidad de a en p(x)
b. Deflación: se refiere al método para remover una raíz conocida de una ecuación polinómicas conduciendo a una ecuación de grado mas bajo; se aplica dividiendo el polinomio original por [pic]donde k es el exponente de la raíz que tiene la multiplicidad.

Dada la dificultad detrabajar con los números complejos respecto a los reales; si queremos comparar 2i con 3i no podemos determinar quien es mayor. Es decir el orden.

Empezaremos por hallar las soluciones reales, sin embargo la primera pregunta a solucionar es ¿Hay soluciones reales? Y si las hay ¿cuantas?, las secuencias de Sturm que veremos mas adelante solución estas dos preguntas.

El siguiente resultado nosindica un intervalo en el cual debemos buscar las raíces reales:

Teorema: Todos los ceros de un polinomio se hallan en el disco cerrado cuyo centro esta en el origen del plano complejo y cuyo radio es
[pic] (Ver demostración en Análisis Numérico, David Kinkaid, Ward Cheney); si tomamos el polinomio [pic], para hallar el intervalo donde se encuentran las raíces reales evaluamos [pic]
Luego[pic]; es decir que ahora hacemos el análisis no en todos los reales sino en el intervalo (-3,3)

SECUENCIAS DE STURN

Considere que [pic], sea una secuencia de polinomios. Que satisfaga las siguientes condiciones sobre un intervalo (a,b) de la recta real; Una secuencia tal es llamada secuencia de Sturn sobre un intervalo [pic], donde cada a o b puede ser infinito. Si
1. El signo de[pic] es constante.
2. Si [pic] entonces [pic]
3. Si [pic] entonces para h suficientemente pequeño [pic]
Definición
Considere que [pic] sea una secuencia de Sturn en [pic] y que [pic] sea un punto de [pic] en el que [pic].
Definimos [pic]como el numero de cambios de signo de [pic], siendo los valores cero ignorados. Si a es finita, entonces [pic]esta definida como [pic]dondeε es tal que ninguna [pic]se anula en [pic]y similarmente para b cuando b es finita. Si [pic], entonces [pic] esta definida como el numero de cambios de signo de [pic] y en forma similar para [pic]cuando [pic].
Teorema
El número de raíces reales distintas del polinomio [pic] en el intervalo [pic] es igual a [pic] si tanto [pic]como [pic]son diferentes de cero además si [pic] o [pic] o ambas...