Cien

Teorema del seno

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Otraforma de expresarlo sería: En todo triángulo la relación de un lado al seno del ángulo opuesto es constante.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Si en un triángulo ABC, las medidas de loslados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces |

Demostración
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmentesimple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamossu circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además losángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

donde R es el radio de lacircunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto soniguales.

Teorema del coseno
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relacionaun lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos aestos ángulos entonces: |
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el...