circunferencia

Evidencia de aprendizaje.


1. Sean dos rectas en R1 y R2 en un plano P paralelas. Demostrar que existen dos planos que contienen a las rectas que no son paralelos.

R=Como las dos rectas son paralelas podemos ponerles el mismo vector director vSi la recta R1 pasa por un punto P1 y la la recta R2 por otro P2 podemos escribir así sus ecuaciones vectoriales
R1: P1+ tv
R2: P2 + tv
Donde v =(v1, v2, v3)
R1: x = x1 + t·v1
y = y1 + t·v2
z = z1 + t·v3
R2: x = x2 + t·v1
y = y2 + t·v2
z = z2 + t·v3
Vamos a tomar los dos puntos P1 y P2 tal que tengan la misma coordenada x, o sea x1=x2. Eso es posible siempre que v1 distinto de 0 Es decir, tomaremos dos puntos así
P1(x1, y1, z1)
P2(x1, y2, z2)
Si v1=0 haremos un planteamiento similar al que voy hacer con y1=y2. y si también es v2=0 lohacemos haciendo que fuera z1=z2. Ya no se pueden dar más casos porque entonces sería v=0 y no sería vector director de nada. Los planos que contienen a alguna de las rectas tienen como vector director un vector
Perpendicular a v
Si v =(v1,v2,v3) vamos a tomar estos dos
u=(v1,-v2, 0)
w=(v1, 0, -v3)
No cuesta nada ver que son perpendiculares a v ya que el producto escalar es 0
Tomamos el planoque pasa por P1(x1,y1,z1) con vector director u
v1(x-x1) - v2(y-y1) = 0
y el plano que pasa por P2(x1,y2,z2) con vector director w
v1(x-x1) - v3(z-z2) = 0
Y el punto (x1, y1,z2) está en los dos planos
v1(x1-x1) - v2(y1-y1) = v1·0 - v2·0 = 0 - 0 = 0
v1(x1-x1) - v3(z2-z2) = v1·0 - v3·0 = 0 - 0 = 0
Luego la intersección de los dos planos no es vacía.
si v1=0 se toman los puntos (x1,y1,z1) y(x2,y1,z2) y los vectores
u = (-v1, v2, 0)
w = (0, v2, -v3)
los planos serán
-v1(x-x1) + v2(y-y1) = 0
v2(y-y1) -v3(z-z2) = 0
Y el punto (x1, y1, z2) pertenece a ambos.
y si v1=v2=0 la rectas serán
R1: x = x1
y = y1
z = z1 + t
R2: x = x2
y = y2
z = z2 + t
tomemos los planos
x - x1 = 0
y - y1 = 0
Y cualquier punto de la forma (x1, y1, t) pertenece a los dos.

2. Observa con detalle la siguiente figura:Si él ángulo α mide 6.39º, cuanto miden los ángulos β, δ ε.

R= Como c es opuesto por el vértice a= 56.39⁰ , también mide 56.39⁰ por lo que un circulo completo son 360⁰, así que quedan 360⁰- 2 x 56.39⁰ =247.22⁰ así que los ángulos β y δ también son opuestos por el vértice así que miden 123.61⁰ cada uno

Β = 123.61⁰ δ =123.61⁰ ԑ = 56.39⁰

ȯ

3. Sea un cuadrado.Demostrar que si se traza un diámetro en el cuadrado, este divide al mismo en dos triángulos isósceles.
B
R= Una diagonal en el cuadrado lo divide en dos triángulos
Donde el lado A=C y el lado B=D el diámetro E es igual en.
Ambos lados y por el teorema dePitágoras E² =C² + B ² E
E² = A² + D² por consiguiente E = C² + B² y E= A² + D² C D
Por eso el lado E es diferentes a los lados A,B,C,D y por
Definición los triángulos que tienen dos lados iguales son isósceles A
Y así queda demostrado que los triángulos ACE Y BDEson isósceles


4. Sea un triángulo cuya bisectriz es al mismo tiempo su altura. Demostrar que este triángulo es isósceles.

R =Teorema 1. En un triangulo isósceles, los ´ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.



Demostración:

B Sea ABCun triangulo isósceles con AB = BC. Tracemos la bisectriz del Angulo B que corta
a AC en el punto D. Comparando ABD con resulta AB = CB por hipótesis, ABD = CBD por ser
Bisectriz de B y BD es un lado común a ambos triángulos. Luego, por el criterio L-A-L resulta...