Clase 9 Logaritmos

Logaritmos
Definici´
on 1 (Logaritmo)
Sea b > 0 , b = 1. Si x > 0, entonces el u
´nico esponente y tal que by = x se denomina el logaritmo de x en
base b. Se denota por logb x.
logb x = y ⇔ by = x
Ejemplos:
log3 9 = 2
log4
log 2

3

1
16

32 = 9

ya que

= −2

ya que

4−2 =

1
16
=

= −4

ya que

2
3

log2 8 = 3

ya que

23 = 8

81
16

−4

81
16

Observaci´
on 2 Se debe tener presente:
1.Solamente se puede calcular logaritmos de n´
umeros reales positivos.
2. Si la base es 10, se llama logaritmo decimal o logaritmo de Briggs y se denota por log , omitiendo la
escritura de la base.
3. Si la base es e ≈ 2, 7172 , se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano (en honor a Napier) y se
denota por ln.
Propiedades:
Propiedad
Logaritmo de la unidad
Logaritmo de la base
Logaritmo del productoLogaritmo del cuociente
Logaritmo de una potencia

Cambio de base

Notaci´
on
logb 1 = 0
logb b = 1
logb (a · c) = logb a + logb c
a
logb
= logb a − logb c
c
logb an = n · logb a
logb x =

loga x
log ab

Ejemplo
log4 1 = 0 ya que 40 = 1
log6 6 = 1
ya que
61 = 6
log6 2 + log6 3 = log6 (2 · 3) = log 66 = 1
324
log9 324 − log9 4 = log9
= log 981 = 2
4
√
√
3
5
log5 5 125 = log5 53 = log5 5 5
3
3
3
= ·log5 5 = · 1 =
5
5
5
log3 5
log6 5 =
log 36

Observaci´
on 3 En algunas ecuaciones logar´ıtmicas podemos obtener soluciones num´ericas que no son v´
alidas, lo que nos obliga a comprobar las soluciones obtenidas en la ecuaci´
on inicial para decidir sobre su validez.
Si logb x = logb y entonces x = y. Esta propiedad es u
´til a la hora de resolver ecuaciones logar´ıtmicas.
Ejemplo 4 Resolver laecuacion log x + log(x − 1) = log 2
Para resolver esta ecuaci´
on primero utilizamos las propiedades de los logaritmos, de la siguiente manera:
log x + log(x − 1) = log 2
log[x(x − 1)] = log 2
x(x − 1) = 2
x2 − x = 2

x2 − x − 2 = 0

Para resolver esta ecuaci´
on (cuadr´
atica) podemos factorizar o recurrir a la formula:
x2 − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x=2

o

x = −1

Ahora debemos verificar lavalidez de las soluciones encontradas en la ecuaci´
on original, para esto reemplazamos los valores encontrados:
Con x = 2
log 2 + log(2 − 1) = log 2
log 2 + log 1 = log 2
log 2 = log 2
Es v´
alida la soluci´
on
Con x = −1

x=2

log(−1) + log(−1 − 1) = log 2
No es v´
alida la soluci´
on

x = −1

Ya que no existen los logaritmos de n´
umeros negativos

Ejercicios, Logaritmos
1. log(a + b)2 − log(a+ b) =
a) 2
b) a + b
c) log(a) + 3 log(b)
d ) log(a) + log(b)
e) log(a + b)
2. Si log

1
1−x

= 2 entonces x vale:

99
199
−99
99
100
101
−
100
19
20

a) −
b)
c)
d)
e)

3. ¿Cu´al de las siguientes opciones es igual a log(12)?
a) log(6) · log(2)

b) log(10) + log(2)
c) 2 · log(6)

d ) log(2) · log(2) · log(3)
e) log(6) + log(2)

4. El valor de la expresi´
on
a)
b)
c)
d)
e)

log2 (8) − log3
log4(16)

1
9

es:

5
2
1
2
3
5
4
7
4

5. log3 (2) = a resulta:
a) a3 = 2
b) a2 = 3
c) 23 = a
d ) 32 = a
e) 3a = 2
6. Si a > 1, entonces log2 (loga (a2 )) =
a) 0
b) 1
c) 2
d) a
e) a2
7. ¿Cu´al de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo I y II
d ) Solo II y III
e) I, II y III

I) log(1) · log(20) = log(20)
II) log

1
2

· log(30) < 30

III) log(4) · log(10) = log(4)8. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
a) Solo I
b) Solo I y II
c) Solo I y III
d ) Solo II y III
e) I, II y III

I) log3

1
9

= −2

II) Si log√3 (x) = −2, entonces x = 3
III) Si logx (49) = −2, entonces x =

1
7

9. log(20002 ) =
a) 4 · log(1000)

b) 6 + 2 · log(2)

c) 2 · (6 + log(2))

d ) 2 · (log(2)) · (log(1000))
e) 3 + 2 · log(2)

10. ¿Cu´al es el valor de laexpresi´
on log2 (8) + log3 (9) + log(10)?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
11. Sean x e y n´
umeros positivos, la expresi´
on log(x3 y −2 ) es siempre igual a:
a) −6 · log(xy)
3
b) − · log(xy)
2
c) 3 · log(x) − 2 · log(y)
3 · log(x)
d)
−2 · log(y)
e) (3 · log(x)) · (−2 · log(y))
12. Si 4x = 9, entonces x =
3
2
log(4)
b)
log(9)
log(9)
c)
log(4)
d) 3
a)

e) N.A.
13. Si log

999
1000
−999
999
1000
1001
−
1000...