clase13ecuacioneslinealeshomogneasconcoeficientesconstantes 121031184947 phpapp02

UNAN LEON, FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA
CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Componente: OPTATIVA 1 (ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS)
UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDENSUPERIOR
Clase: # 13

Tema: Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

Se ha visto que la ecuación diferencial lineal de primer orden , en donde a es una constante, tiene lasolución exponencial en .
Por consiguiente, es natural tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en , de ecuaciones de orden superior como

En donde los son constantes. Lo sorprendentees que todas las soluciones de la ecuación (1) son funciones exponenciales o se construyen a partir de funciones exponenciales. Se empezara considerando el caso particular de la ecuación de segundoorden:

Ecuación auxiliar
Si se ensaya una solución de la forma , entonces y de modo que la ecuación (2) se transforma en

o bien

Como nunca se anula para los valores reales de x, es evidente quela única manera de que esta función exponencial pueda satisfacer la ecuación diferencial es eligiendo m de modo que sea una raíz de la ecuación cuadrática

Esta última ecuación se llama ecuaciónauxiliar o ecuación característica de la ecuación diferencial (2). Se consideraran tres casos, según la ecuación auxiliar tenga raíces reales distintas, raíces reales iguales o raíces complejas conjugadas.Recordar que la solución de esta ecuación es:

Caso I: Suponiendo que la ecuación auxiliar (3) tiene dos raíces reales distintas se hallan dos soluciones:

Ya hemos visto en la clase anterior queestas funciones son linealmente independientes en , y por lo tanto, forman un conjunto fundamental de soluciones. Se deduce que la solución general de (2) en este intervalo es:


Caso II: Cuando(raíces iguales), la solución general de (2) es:


Caso III: Cuando son complejas, entonces puede escribirse
y
en donde α y β > 0 son reales e: . No hay diferencia formal entre este...