Clase3 Ecuaciones 1

Matemática I
ECUACIONES DE PRIMER
Y SEGUNDO GRADO

Dr. Rolando Vásquez Jaico

ECUACIONES

DEFINICIÓN 1. Una ecuación,

CONJUNTO

es una igualdad que contiene

llamará conjunto solución

variables

de una ecuación, al conjunto

o

incógnitas

y

constantes, y que se verifica

de

para cierto o ciertos valores

satisfacen

de las variables.

ecuación.

2

3 x  5  5 x  3

valores

1

  2;
3


SOLUCIÓN.

numéricos
o

verifican

Se

que
la

ECUACIONES

1) 4 x 2bc a las variables x, b, c se les puede asignar cualquier valor real,
y el resultado es siempre un número real.
x2  5
2) Si en
a x le asignamos el valor de 3, entonces la expresión
x 3
resultante no representa un número real. Si se sustituye x por cualquier
valor diferente de 3, el resultado es un número real.
3) En x - 4se puede demostrar que si x se sustituye por cualquier
número real menor que 4 entonces la expresión resultante no representa
un número real.

Ejercicios
• Para cada uno de los casos siguientes, escribe los números reales
que al ser sustituidos por la variable en la expresión dada, hacen
que el resultado obtenido no represente un número real.

2x  3
 x 5
x-2
b)
(x  3)(x - 1)(4 - x)

a)

•

c)4

2x - 3

d)

5

-x 2

Determinar el dominio de la variable

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADOS EN REALES
Ecuaciones algebraicas. Las variables de una ecuación representan
números reales o complejos, y para hallar el conjunto solución,

es

suficiente aplicar las propiedades de los reales y las operaciones
aritméticas.

x 3  3x 2  x  3 0;

x 2  5x  3  x  2

En algunos casos, esnecesario recurrir al uso de las propiedades de
las funciones exponenciales, logarítmicas o trigonométricas, entonces
se llamarán ecuaciones trascendentes.

2 cos 2 x  sen x 5;

log  3 x  2  log  32 x 

Definición
Sean a, b, c y a≠0. Se llama ecuación cuadrática o ecuación
de segundo grado con una incógnita a toda ecuación que se
puede llevar a la forma

ax 2  bx  c 0,
Ejemplo
1)
2)

4 x2  2 x  2 x  1
3x  5
2x  9
8


2x  9
3x  5
3

a 0

Definición
Si dos ecuaciones lineales con una incógnita tienen el mismo
conjunto solución, decimos que son equivalentes entre sí

Algunas propiedades que se pueden usar para obtener ecuaciones
equivalentes entre sí.
1. Intercambiar miembros de la ecuación
ax  b c es equivalente a c ax  b
2. ax  b c es equivalente a ax  b  d c d
3. ax  b c es equivalente a d  ax  b  dc
4. otras propiedades de la suma y el producto.
Ejemplo :
a) 5 x-2 6
2x - 1 x  1
b) x 
3
2

Métodos de solución de una ecuación de segundo grado

Ejemplo

Algoritmo
Dada una ecuación
cualesquiera

3 x  2 2 x  5 10


2 x  5 3x  2 3

3x  5 2 x  9 8


2 x  9 3x  5 3

Solución

3 x  2 2 x  7 11


2 x  7 3x  2 3

3 3 x  2   3 2x  5 10 3 x  2  2 x  5
2



2

 





3 9 x 2  12 x  4  3 4 x 2  20 x  25 10 6 x 2  19 x  10

Proceso algebraico

27 x

2



 36 x  12  12 x 2  60 x  75 60 x 2  190 x  100 

39 x 2  96 x  87 60 x 2  190 x  100

Expresar la
ecuación en la
forma estándar

39 x 2  96 x  87 60 x 2  190 x  100
 21x 2  94 x  13 0

Normalizando y completando cuadradoaplicar uno de los
métodos de
solución

Completand
o
cuadrados

x2 

x2 

2

94 
13  47 

 
x
 
42 
21  21 

x

Obtener la
solución

94
13
x
0
21
21

2

47
13  47 
 
 
21
21  21 

x1 

91
1
; x2 
21
7

94
13
x 
21
21

2

x2 
2

94
13  94 
 94 
x    
 
21
21  42 
 42 

47 
13  47 

 
x
 
21 
21  21 

2

x

47 44

21 21

2

2METODO DE FACTORIZACIÓN

Algoritmo
Definición
ecuación

de

Ejemplo
la

Expresar la ecuación
en su forma estándar
ax 2  bx  c 0, a 0

Aplicar la propiedad
ab 0  a 0 ó b 0

Obtener la solución

3 x 2  5  5 x  3

3 x 2  5 x  2 0

 3x  1 x  2 0

3 x  1 0 ó x  2 0

1
x
3

x  2

METODO DE COMPLETAR CUADRADOS

Definición
ecuación

de

la

Expresar la ecuación
en su forma...