Clases Laterales

Clases laterales
1.-Conceptos previos
Si un grupo G se puede particionar en celdas de modo que la operación inducida este bien definida en cada una de las celdasy el conjunto formado por las celdas tenga una estructura de grupo, entonces sea Be la celda, que contiene la identidad, se sabe por el teorema siguiente que Be es subgrupo de G.
Teorema 1 Si un grupo G se puede partir en celdas dondela operación inducida está bien definida y si las celdas forman un grupo bajo esta operación inducida, entonces, la celda que contiene la identidad e de G debe ser un subgrupo de G.
Sea Ba otra celda que contiene un “a”ϵ G. Si escogemos un representante a ∈ Ba y todos los elementos de Be, mostrado en la siguiente ecuación BaBe=Ba, el conjunto aBe= axxϵBe debe estar contenido en Ba.
Loanteriormente descrito hace referencia que aBe son las clases laterales de un subgrupo Be.
2.- Definición 1-
a) Clase Lateral derecha
Sea H un subgrupo del grupo G y sea a ϵ G, la clase lateral derecha Ha de H en G es el conjunto hah ϵ H es decir:
Ha = ha h ϵ H
b) Clase Lateral izquierda
Sea H un subgrupo del grupo de G y sea a ϵ G. La clase lateral izquierda aH de H en G esel conjunto ahh ϵ H es decir:
aH = ah h ϵ H
Ejemplo:
Consideremos el conjunto de los números enteros Z, que como sabemos tiene estructura de grupo con operación suma. Vamos a descomponer este conjunto en tres subconjuntos de forma que cada elemento de Z esté en uno solo de los subconjuntos (lo cual se denomina partición).
S0=……0,3,6,9,12,…… Consideramos a S0 la celda Be que contiene alelemento identidad que es el cero.
S1=……1,4,7,10,13,…… Consideramos a S1 la celda Ba
S2= ……2,5,8,11,14……
En los dos primeros subconjuntos está bien definida la operación suma (si sumamos cualesquiera números del subconjunto el resultado está en el subconjunto) pero sólo uno de los subconjuntos tiene estructura de grupo, el que tiene el cero, que es el elemento neutro para la suma.
Vemostambién que si sumamos un elemento del primer subconjunto con un elemento del segundo subconjunto el resultado es un elemento del segundo subconjunto
El subconjunto S0 es el más importante porque tiene estructura de grupo y porque nos permite generar los otros. En efecto, si escogemos un elemento cualquiera y lo 'sumamos' a S0 obtenemos S1 .O sea, tomando cualquier elemento siempre se genera uno de losdos subconjuntos.
El efecto de aplicar el subconjunto S0 (que es subgrupo) a cualquiera de los elementos del conjunto es la obtención de otro subconjunto determinado. A esos subconjuntos obtenidos se les llama clases laterales del subgrupo S0. 
Ejemplos:
1) Sea G=P(A), A= {a,b}; *=∆ (diferencia simétrica)
(G,*) es un grupo
∆ | {a} | {b} | {a,b} | ϕ |
{a} | ϕ | {a,b} | {b} | {a} |
{b} |{a,b} | ϕ | {a} | {b} |
{a,b} | {b} | {a} | ϕ | {a,b} |
ϕ | {a} | {b} | {a,b} | ϕ |

H={ϕ,{a}} es un subgrupo de G
Entonces
aΔH={a,ϕ} | HΔa={a,ϕ} |
bΔH={b,{a,b}} | HΔb={b,{a,b}} |
a,bΔH={a,b,b} | HΔa,b={a,b,b} |
ϕΔH={ϕ,a} | HΔϕ={ϕ,a} |

El grupo G tiene:
Dos clases laterales izquierdas:
aΔH=ϕΔH={a,ϕ}
bΔH=a,bΔH={b,{a,b}}
Dos clases laterales derechas:
HΔa=HΔϕ={a,ϕ}HΔb=HΔa,b={b,{a,b}}
3.-Definición 2-
Sea G un grupo, H un subgrupo de G, para ab ϵ G decimos que a es congruente con b mód H, lo que escribimos a ≡ b mód H, si ab-1 ϵ H.
Lema 01.- La relación a≡b mód H es una relación de equivalencia.
Para que a≡b mód H sea una relación de equivalencia debe cumplirse, la ley de reflexividad, ley de simetría y la ley de reflexividad para todo a,b,c ϵ G.
1) a≡a módH;
2) a≡b mód H implica b≡a mód H;
3) a≡b mód H, b≡c mód H implica a≡c mód H
Demostración:
1) H es un subgrupo de G, por definición de subgrupo, sabemos que el elemento neutro pertenece a H es decir e ϵ H. También sabemos aa-1=e, por consiguiente aa-1∈H entonces por definición a≡a mód H.
2) Tomando como hipótesis a≡b mód H, por definición ab-1∈H, como H es un subgrupo de...