Clasificacion de los Sistemas de Ecuaciones Lineales

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCIÓN.
Instituto Tecnológico de Puebla
José Luis Rodríguez Romero
Ingeniería Mecánica
INTRODUCCIÓN
Los sistemas de ecuaciones lineales tienen una amplia área de aplicación, dentro de la cual podemos encontrar procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programaciónlineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico, en este ensay conoceremos su clasificación así como los tipos de soluciones que pueden tener.
Sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones endonde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
Clasificación
Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguienteforma:
1. Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
2. Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
3. Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos encomún, y por tanto todos ellos son solución
Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:
Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales.
Ejemplo:
Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son.Ejemplo:
Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra.
Ejemplo:
Tipos de Solución
Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
Encaso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5,y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando elmismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se substituye su valor en una de las...