Ecuaciones Lineales Y Sistemas De Ecuaciones

4.1 Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iníciales por medio de la transformada de Laplace

Puesto que depende de y sus derivadas calculadas en la transformada de Laplace es especialmente adecuada para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Esta clase de ecuaciones diferenciales puede ser reducida a unaecuación algebráica en la función transformada Para ver esto considere el problema de valor inicial

en donde son constantes. Por la linealidad de la transformada de Laplace podemos escribir

.

Usando el teorema 3.6 la expresión se transforma en

o bien
[

en donde y . Despejando en esta ecuación encontramos calculando la transformada inversa

El procedimiento se resume enla figura 4.1.
Figura 4.1

Ejemplo
Resolver sujeta a .

Solución. Primero aplicamos la transformada a cada miembro de la ecuación diferencial dada,
.
Luego usamos y Por lo tanto,

o bien
.
Mediante fracciones parciales:

lo cual da
.
Haciendo y en la última ecuación, obtenemos y , respectivamente. En consecuencia,

resultando que

.

Ejemplo
ResolverSolución

.
Usando las condiciones iníciales y simplificando resulta


y por lo tanto,

Del primer teorema de traslación, recuerde que
.
Por consiguiente,
.

Ejemplo
Resolver

.

Solución




Mediante fracciones parciales:

lo cual implica

Haciendo y resulta y , respectivamente. Igualando los coeficientes de y resultay por lo tanto se tiene que y Por consiguiente,

.
Por tanto obtenemos

.
Ejemplo
Resolver

.
Solución. Recuérdese que este problema de valor inicial podría describir el movimiento forzado, no amortiguado y resonante de una masa sujeta a un resorte. La masa parte en dirección hacia abajo desde la posición deequilibrio con una velocidad inicial de 1 pies/s. Ahora bien, se podría resolver este problema fácilmente mediante variación de parámetros, pero el uso de la transformada de Laplace ahorra la determinación de las constantes que naturalmente aparecerían en la solución general
Aplicando la transformada de Laplace en la ecuación diferencial resulta



.

Ejemplo
Resolver
en dondey , .
Solución. La función puede ser interpretada como una fuerza exterior que actúa sobre el sistema mecánico solamente por un periodo corto y que después es suprimida. (Véase la figura4.2.) Aunque en este problema podría resolverse mediante métodos convencionales, estos procedimientos no son del todo convenientes cuando está definida partepor parte. Usando la periodicidad del coseno podemos escribir

Con la ayuda del segundo teorema de translación se deduce que



.

1
-1

t








Figura 4.2

Por tanto



Esta última solución equivale a
.



De la gráfica de en la figura 4.3 obsérvese que las amplitudes de oscilación se hacen estacionarias en cuanto se suprime la fuerzaexterior.

1
-1

t






Figura 4.3

Ejemplo
Resolver
en donde
y
Solución. Por el segundo teorema de traslación y luego de simplificar, la transformada de la ecuación diferencial es

o bien
.
Con el método de las fracciones parciales, la ultima ecuación se convierte en

.
Utilizando nuevamente la forma inversa del segundo teorema detranslación queda




Una ecuación integral
El teorema de la convolución es útil para resolver otros tipos de ecuaciones en las que aparece una función incógnita bajo un signo de integral. En el ejemplo siguiente obtenemos resolviendo una ecuación integral de la forma

donde las funciones y son conocidas.

Ejemplo
Obtener de
.
Solución. Del teorema de convolución se...