Columna

15.- Resolver la ecuación diferencial:

x.dx + y.dy + (x2 + y2).x2.dx = 0

La ecuación puede ponerse en la forma :

[pic]

o lo que es igual :
[pic]

Con lo que la solución general será :

[pic]

16.- Resolver la ecuación diferencial:

3x
∫dx + ∫ e dy = 0

∫dx + dy
⎯⎯⎯⎯ = 0
3x
e

-3x
e dx + dy= 0
Si u = -3x
du = -3dx

u
1/3 ∫e - 3dx + dy = 0

u
1/3 ∫e du + ∫dy = ∫0

-3x
- e
⎯⎯⎯ + y = 0
3

17.- Resolver la ecuación diferencial:

y' = p(x).y = 0 ; con la condición y(0) = 1 siendo :

[pic]

Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. Laecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.
y' + 2y = 0 ; dy + 2y.dx = 0 ; [pic]dy + 2.dx = 0 ; Ln y + 2x = Ln C

Si tomamos antilogaritmos tenemos:

[pic]

La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma:y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2

Tenemos según eso :
y' + y = 0 ; dy + y.dx = 0 ; [pic]dy + dx = 0 ; Ln y + x = Ln C ; y = C.e-x

y considerando el valor y(1) = e-2

[pic]

18.- Resolver la ecuación diferencial:

[pic]

La ecuación es homogénea ya que se puede poner en la forma:

[pic]

Por lo tanto, podemos hacer el cambio v = y/x para poner :[pic]

y separando variables:

[pic]

o deshaciendo el cambio de variables :

arc tg(y/x) – Ln x = C

19.- Resolver la ecuación diferencial:

dy 3x + 2y
⎯⎯⎯⎯ = e
dx

3x 2y
dy = e e dx

dy 2x
⎯⎯⎯⎯ = e dx
2y
(e)
⌠ dy ⌠ 3x ⌠
⎮ ⎯⎯⎯⎯ - ⎮ edx = ⎮ 0
⎮ 2y ⎮ ⌡
⌡ (e)

⌠ -2y 3y
⎮ - e e
⎮ ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯ = C
⌡ 2 3

20.- Resolver la ecuación diferencial:

x dy -y -2x-y
e · y ⎯⎯⎯⎯ = e + e
dx

x dy 1 + e
e · y ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯--
dx y
e-2x
y 1 + e
y e dy = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
x
e

y 1 1
y e dy = ⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ ·(dx)
x 3x
e e
2
y
de 1 y
⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯ e 2y dy
dy 2
2
y -x -3x 6e - 3e - e= 3c

22.- Resolver la ecuación diferencial:

[pic]

Esta ecuación es homogénea por ser el numerador y denominador funciones del mismo grado. Haciendo el cambio v = y/x , obtenemos :

[pic]

y separando variables:

[pic]

Aplicando el método de los coeficientes indeterminados para separar en fracciones simples el primer miembro, tenemos :

[pic]

olo que es igual :

[pic]

Finalmente, deshaciendo el cambio y simplificando :

[pic]

23.- Resolver la ecuación diferencial:

[pic]

Tenemos una ecuación homogénea en la que el cambio v = y/x nos permite escribir :

[pic]

y separando variables:

[pic]

O lo que es igual :

[pic]

24.- Resolver la ecuación diferencial:

y' = (x + y) , con lacondición y(0) = 1.

La ecuación la podemos transformar haciendo el cambio de variable v = x + y , para obtener :
v' = 1 + y' ; y' = v' – 1 = x + y = v ; v' = v + 1

y separando variables para integrar :

[pic]

pero teniendo en cuenta que y(0) = 1 :

[pic]

y tomando antilogaritmos:

[pic]

25.- Resolver la ecuación diferencial:

[pic]

Lo primero...