combinacion lineal


INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CAMPECHE


INGENIERÍA MECÁNICA
UNIDAD 4




NOMBRE DEL PROFESOR:
Rogelio Peña Hernandez

MATERIA:
Algebra lineal

GRUPO:
VC2

EQUIPO:
No. 4

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

Adrián May Canul
Jairo Damian Puc May
Daniel Blanco Paredes
GabrielArjona Balché
Roberto Tuyub Rodriguez




JUNIO/2014
Combinación lineal


El concepto de combinación lineal es fundamental para entender las operaciones de matrices y el concepto de determinante, así como laindependencia lineal de vectores, relacionado con las matrices.
Un vector "w" se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores a= {v1, v2, v3, ...,Vn } si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de A multiplicados cada uno de ellos por un constante escalar (k1, k2, ..., kn), de forma que:

• W= (k1·V1 + k2·V2 + k3·V3 + ... + kn·Vn )

Y (k1, k2, k3,… kn ∈ Ɍn) sonpuras constantes es decir son números que existen en los números reales, una combinación lineal, se puede entender como la suma de varias cantidades en este caso, vectores, lo que te están pidiendo es que determines que por que factor tienes que multiplicar cada vector para que su suma del vector que te están pidiendo es decir:

Supongamos que tienes las constantes k1, k, y k3 que multiplicaran alos vectores u, v y j, lo que se debe plantear es:

w = (4, 3, 2) { v = (1, 0, 0), u = (1, 0, 1), j = (1, 1, 1) ∈ Ɍ3}


(4, 3, 2) = k1(1, 0, 0) + k2(1, 0, 1) + k3(1, 1, 1) = (4, 3, 2)
Por lo tanto:
(4, 3, 2) = (k1, 0, 0) + (k2, 0, k2) + (k3, k3, k3) = (k1+k2+k3, k3, k2+k3)


Por comparación , formas el siguiente sistema de ecuaciones:


k1+ k2 + k3 = 4 (2-1+3= 4)
k3 = 3
k2 + k3 = 2(-1+3= 2)


que esta auto determinado, ya que en la segunda te dicen que k3 = 3, por lo tanto sustituyendo en la ecuación tres se despeja k2 -->

k2 + 3 = 2 --> k2 = 3-1 =2 k2=-1

con k2 = -1 y k3 = 3 se sustituye en la primera ecuación y se despeja k1,

k1 - 1 + 3 = 4 ---> k1 = 4 +1 - 3 = 2 k1=2

por lo tanto k1 = 2, k2 = -1 y k3 = 3

es decir que la combinación lineal que buscas es:2(1, 0, 0) - 1(1, 0, 1) + 3(1, 1, 1) = (4, 3, 2)

Entonces decimos que satisface por lo tanto esto significa que los valores de k1, k2 y k3 existen y satisfacen las 3 ecuaciones entonces este sistema si es compatible, y por lo tanto w si es combinación lineal de u, v y j

Ejemplo 2:
Consideremos el vector w= (1, 1, 1) y el conjunto de vectores {u = (-1, 1, 2), v= (-1, 0, 3) ∈ Ɍ3}
Nos piden quedemostremos que W= (1, 1, 1) es una combinación lineal de u y v

Para que w sea una combinación lineal de u y v deben existir constantes escalares k1 y k2 tales que w= (k1·v1+k2·v2) que sería lo mismo w= (k1·u) + (k2·v)

Sustituyendo:
(1, 1, 1) = k1 (-1, 1, 2) + k2 (-1, 0, 3)
Multiplicando quedaría que:
(1, 1, 1) = (- k1, k1, 2k1) + (- k2, 0, 3k2) = (- k1 - k2, k1, 2k1 + 3k2)-k1-k2 = 1
(1, 1, 1)= k1 = 1
2k1+3k2 =1

Y en este Sistema de 2 incógnitas k1 y k2 de manera que existan valores k1 y k2 de forma que se satisfaga las 3 ecuaciones que tenemos ahí el hecho de que w sea combinación lineal de u y v es equivalente a que este sistema tenga solución veamos, tenemos entonces que:

K1 = 1 ya tenemos el valor de k1
-k1 = -1 -k2 = 1 entonces - k2 = 1+ 1 = 2 si -k2 = 2 tenemos que k2 = -2 y ya tenemos el valor de k2
K1 = 1 y k2 = -2
Ahora sustituimos esos valores en la última ecuación para ver si se cumple la igualdad:
Nos quedaría así:
K1= 1(2) + k2 = -2(3) = -4

-k1-k2 = 1
(1, 1, 1)= k1 = 1
2k1+3k2 =1

Esto NO satisface por lo tanto esto significa que no existe valores de k1 y k2 que satisfagan...