Complejos 1

Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato

1

TEMA 6 – LOS NÚMEROS COMPLEJOS
OPERAR CON COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
EJERCICIO 1 : Calcula y representa gráficamente la solución que obtengas:
 4  2i i 5
i 30 5  i 
5i 9 2  3i 
5i 6  2  i 
a)
b)
c)
d)
1 i
 1  2i
 1 i
2i
Solución:
a)

b)

c)

d)

4  2i i 5

4i  2i 2 4i  2 2  4i 2  4i 1  i  2  2i 4i  4i 2 2  2i  4i  4






1  i 1  i 
1 i
1 i
1 i
1 i
1 i
1 1
1 i 2
6  2i 6 2i

 
3i
2
2 2


4  2i i







5i 6  2  i  5 1 2  i   5 2  i   5 2  i  1  2i   5 2  4i  i  2i 2





 1  2i  1  2i
 1  2i
 1  2i
 1  2i
1  4i 2
5 2  4i  i  2 5 4  3i 


 4  3i
1 4
5

i 30 5  i   15  1  5  i  5 i  1  i  5  5i  i  i 2 5  5i  i  1 6  4i 6 4i






 
 3  2i
 1 i
 1 i
 1  i  1  i  1  i 
1 1
2
2 2
1 i 2

5i 9 2  3i  5i 2  3i  10i  15i 2 10i  15 15  10i 15  10i 2  i  30  15i  20i  10i 2







2  i 2  i 
2i
2i
2i
2i
2i
4 i2
30  15i  20i  10 20  35i 20 35i




 4  7i
4 1
5
5
5

Tema 6 – Los númerosComplejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato

2

PASAR DE BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA. OPUESTO Y CONJUGADO
EJERCICIO 2 : Dado el número complejo z 

3  i:

a Represéntalo gráficamente y exprésalo en forma polar.

b Obtén su opuesto y su conjugado.

Solución:
a Forma polar:

 3    1
2

z 

2

3
1

3
3

tg  





3 1 

4 2

  330  (pues está en el 4.º cuadrante)

Por tanto: z  2330

b) Opuesto

z   3 i



Conjugado

z



3 i

EJERCICIO 3
a) Expresa en forma binómica el número complejo z  4135 y represéntalo gráficamente.
b Obtén el opuesto y el conjugado de z.
Solución:

2
2
  2 2  2 2 i
a) z  4135  4 cos 135  i sen 135  4 
i

2
2 




b) Opuesto



 z  2 2  2 2i



Conjugado

z  2 2  2 2 i



 1 i 
EJERCICIO 4 : Halla el móduloy el argumento de 

 1 i 

4

Solución:
Expresamos 1  i y 1  i en forma polar:
12   1 
2

1 i 
tg  

1
 1 
1

1 i 
tg  

12  12 

1
1 
1

1 1 

2

  315  (pues está en el 4º cuadrante)

1 1 

2

  45  (pues está en el 1er cuadrante)

4

 1 i 
Por tanto: 
 

 1 i 


4

2 315 
 1270
2 45 

  1
4

1080 

 10  1

Módulo  1 y Argumento 0.

Tema 6 – Los números Complejos – Matemáticas I – 1º Bachillerato

3

OPERACIONES EN FORMA POLAR
EJERCICIO 5 : Una de las raíces octavas de un número complejo, z, es 1  i. Halla el valor de z.
Solución:
Si 1  i es una raíz octava de z, entonces: z   1  i 8
Expresamos 1  i en forma polar:
 1 i 
tg  

 12  12

1 1 



1
 1 
1

2

  135  (pues está en el 2.ºcuadrante)

 2   16
8

8

Por tanto: z   1  i  

135

1080 

 16 0  16

EJERCICIO 6 : El producto de dos números complejos es 2 2 75 .Sabiendo que uno de los
números es z  1  i, halla el otro número.
Solución:
z  w  2 2 75 


z  1 i

Llamamos w al número buscado. Entonces, tenemos que:
Expresamos z en forma polar:
z 

12  12 

tg  

1
1 
1

Luego z 

w

1 1 

2

 45  (pues está en el primer cuadrante)

2 45 y, por tanto:

 3
1
 2 30  2 cos 30   i sen 30   2 
i 
 2
2



2 2 75



2 45



3  i  Es decir: w  230 

EJERCICIO 7 : Calcula e interpreta gráficamente las soluciones:

3

3 i

 27i

Solución:
Expresamos 27i en forma polar: 27i  27 270
Así: 3  27i  3 27 270  3 27 270  360 k con k  0,1, 2
3

k 0



3

2790  3 90

k 1 

3 210 

k 2



3 330 

Las tres raíces son: 3 90 ; 3 210 ; 3 330

Los afijos de las tres raíces cúbicas ocupan los vértices de un triángulo equilátero.

EJERCICIO 8 : Halla

5

 1 e interpreta gráficamente las soluciones.

Solución:
5

 1  5 1180  1180  360 k  136  72k ; k  0,1, 2, 3, 4  Las cinco raices son: 136 ; 1108 ; 1180 ; 1252 ; 1324
5

Tema 6...