complejos 2

MATEMATICAS
1º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Complejos

CIENCIAS

MaTEX
Complejos

Fco Javier Gonz´
alez Ortiz

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Tabla de Contenido
Inicio Art´ıculo

c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004

Doc Doc
ISBN: 84-688-8267-4

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MATEMATICAS
1º Bachillerato

1. Introducci´
on
1.1. Las potencias de i
2. Forma bin´
omica de un n´
umero complejo
2.1.Representaci´
on gr´
afica
2.2. Operaciones en forma bin´
omica
• Suma en forma bin´
omica • Producto en forma bin´omica • Cociente en forma bin´
omica
3. Forma polar de un n´
umero complejo
3.1. Forma trigonom´
etrica de un n´
umero complejo
3.2. Producto en forma polar
3.3. Divisi´
on en forma polar
3.4. Potencia en forma polar
3.5. Ra´ız n-´
esima de un complejo
Soluciones a los EjerciciosSoluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Complejos

Tabla de Contenido

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Secci´
on 1: Introducci´
on

3

MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu

1. Introducci´
on

A

Vamos a clasificar los n´
umeros como soluciones de las ecuaciones. Observa
las siguientes ecuaciones:
x + 3 = 8 ⇒ x = 5 tiene soluci´
on en los naturales N
x + 3 = 1 ⇒ x = −2 tiene soluci´
on enlos enteros Z
5
2x = 5 ⇒ x = tiene soluci´
on en los racionales Q
2
√
x2 = 2 ⇒ x = ± 2 tiene soluci´
on en los reales R
Se tiene as´ı que el sistema de n´
umeros se ha ido ampliando

CIENCIAS

Ahora observa la ecuaci´on
x2 = −1
que como sabes no hay ning´
un n´
umero cuyo cuadrado sea negativo. En el siglo
XVI “inventaron” un n´
umero que cumple la ecuaci´
on anterior y llamaron la
unidadimaginaria, i.
Es decir definimos la unidad imaginaria i como un n´
umero ( no real) que
cumple

Complejos

MaTEX

N ⊂Z⊂Q⊂R

i2 = −1

d
B
s=B+mv

(1)
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Secci´
on 1: Introducci´
on

4

MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu

1.1. Las potencias de i
´
Unicamente
hay cuatro potencias distintas de i:

A

d

5

4

B
s=B+mv

i =i · i = i

i = −1

i6 =i4 · i2 = −1

CIENCIAS

i3 = i2 · i = −ii7 =i4 · i3 = −i

i4 = i2 · i2 = (−1)(−1) = 1

i8 =i4 · i4 = 1

MaTEX

Si seguimos calculando potencias s´
olo aparecen
{1, −1, i, −i}
As´ı por ejemplo
i47 = i4·11+3 = (i4 )11 · i3 = i3 = −i
Ejercicio 1. Efect´
ua las siguientes potencias de i:
a) i34
b) i64
c) i81

d ) i107

Complejos

i=i
2

Adem´as, ahora podemos expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
√ √
√
x2 + 9 = 0 =⇒ x = ± −9= ± 9 −1 = ±3 i
√ √
√
x2 + 16 = 0 =⇒ x = ± −16 = ± 16 −1 = ±4 i
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5

Ejemplo 1.1. Resuelve la ecuaci´
on x2 + 8x + 25 = 0
√
Soluci´
on: Resolvemos la ecuaci´
on sustituyendo −1 por i.
√
−8 ± 64 − 4 · 25
x=
√2
−8 ± −36
=
2√
−8 ± 6 −1
=
2
= − 4 ± 3i
Ejemplo 1.2. Comprueba que −4 + 3 i verifica x2 + 8x + 25 = 0
Soluci´
on: Sustituimos y operamos de forma natural
(−4 + 3 i)2 + 8(−4 + 3 i) + 25 =16 − 24 i + 9 i2
− 32 + 24i + 25

MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Complejos

Secci´
on 1: Introducci´
on

=9 + 9i2
=9 + 9(−1) = 0

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Secci´
on 2: Forma bin´
omica de un n´
umero complejo

MATEMATICAS
1º Bachillerato

6

r=A+lu

Estos nuevos “n´
umeros” de la forma

A

a + bi

d

2. Forma bin´
omica de un n´
umero complejo

Bs=B+mv

CIENCIAS

MaTEX

2.1. Representaci´
on gr´
afica
Un complejo en forma bin´
omica
a + bi

C
ib

se representa mediante un vector
con origen el punto O(0, 0) y extremo el punto de coordenadas
A(a, b). Al punto A(a, b) se le llama afijo del complejo

0

a + ib

Complejos

los llamamos n´
umeros complejos en forma bin´
omica y decimos que a es la
parte real y b la parte imaginaria. Un modelopara comprenderlos consiste en
representarlos en el plano

a

Ejercicio 2. Representar los siguientes complejos en el plano:
a) 3 + i
b) 2 i
c) −2 + 3 i
d ) −2
e) −2 − i

f) 2 − 2i

g) 2

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Secci´
on 2: Forma bin´
omica de un n´
umero complejo

7

2.2. Operaciones en forma bin´
omica

• Suma en forma bin´omica

(5 + i) + (1 − 3 i) =(5 + 1) + (1 − 3) i
=6 − 2 i
Ejemplo 2.2....