Complejos

1
1.1

LOS NÚMEROS COMPLEJOS
¿Imaginámos la realidad?

¿Cómo distinguir entre lo real y lo imaginario? La realidad de mi abuela es que sus ojos ven de forma muy concreta el abuelo muerto años atrás. Lo que para mi es algo imaginario (trampita de la mente) para ella es realidad. ¿Cuántos nos hemos levantado sudando o llorando después de un mal sueño? El sueño en ese instante era unarealidad... Asumiendo como realidad lo que la mente acepta como tal, nos atrevemos a afirmar que los números imaginarios no son tan imaginarios, son entidades concretas que nuestra mente puede ver, tocar y manipular. Los números “complejos” no son tan complejos o tan imaginarios como lo indica su nombre, mas aún, son tan concretos que gracias a ellos hasta un viejo computador 286 puede pintar fractales tanhermosos como el de Mandelbrot

1.2

Ampliando el conjunto numérico

Ante el problema de solucionar ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 con a, b, c ∈ R, se encontraron situaciones en las cuales el conjunto de los Números Reales no era suficiente, por ejemplo : √ Si x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = −1 Esta ecuación no tiene solución en R, ya que x = −1 ∈ R. Sea n un entero no negativo ;
2n

√

a eses un número real si y sólo sí a ≥ 0

No pudiéndose satisfacer algunas ecuaciones en R, nos vimos en la necesidad de ampliar el conjunto numérico, llegando hasta los mal llamados números complejos (son muy sencillos). Definición 1 Asumimos que i es el número que elevado al cuadrado es igual a −1. Nos referiremos a i como la √ unidad imaginaria, i = −1 y diremos que si b es un número real;entonces bi es un número imaginario. Bajo la idea anterior, y siguiendo las leyes comunes de la potenciación podemos afirmar que: √ i1 = −1 i2 = −1 i3 = i2 · i = −i i4 = i2 · i2 = 1 . . . i45 . . . i243 = = i4 i4
11

· i = i Recuerda que 45 = 4 · 11 + 1 · i3 = −i 1

60

También podemos afirmar que:

√ −4 = √ −3 =

√ 4 · (−1) = √4i = 2i 3 · (−1) = 3i

Actividad 1. 1. Hallar las soluciones decada una de las siguientes ecuaciones: (a) x2 + 9 = 0 (b) x2 − x + 17 = 0 (c) x2 − x − 2 = 0 (e) −x2 − 9 = 0

(d) 2x2 − 18 = 0

(f) x4 − 2x2 − 3 = 0

2. ¿Son las soluciones halladas números reales? 3. Representa gráficamente cada una de las funciones cuadráticas asociadas con el primer punto. (a) y = x2 + 9 (b) y = x2 − x + 17 (c) y = x2 − x − 2 (e) y = −x2 − 9

(d) y = 2x2 − 18

(f) y =x4 − 2x2 − 3

4. Cuando las raíces de la ecuación cuadrática no son números reales, ¿la gráfica de la función cuadrática correspondiente interseca al eje x? ¿Por qué? 5. ¿Hay alguna relación entre los cortes con el eje x y las raices? ¿Qué ocurre cuando la ecuación asociada tiene soluciones reales? 6. ¿La solución de la ecuación x2 + 1 = 0 es un número real? Justificar. 7. Verifica que i, −i, 1 y−1 son raíces de la ecuación x4 − 1 = 0.

√ Definición 2 Un número de la forma a + bi, con a y b números reales, e i = −1, lo llamaremos número complejo; a se llama parte real y b, parte imaginaria. √ C = a + bi | a ∈ R, b ∈ R, ∧ i = −1 Ejemplos: 1. z = 3 − 2i es un número complejo. 2. w = −5 es un número complejo, ya que se puede escribir como −5 + 0i. 3. α = 2i es un número complejo, ya que sepuede escribir como 2i = 0 + 2i. Definición 3 Dos complejos son iguales si sus componentes son iguales. Sea z, w ∈ C tal que z = a1 + b1 i y w = a2 + b2 i ; z = w si y sólo sí a1 = a2 y b1 = b2 . Actividad 2. 1. ¿Son los números reales también números complejos? 2. ¿Son los números de la forma bi números complejos? 3. Si z = x + 2yi y w = (4 + y) + (x − 1) i. Encontrar los valores de los númerosreales x y y para los cuales se satisface z = w. 2

Definición 4 Las operaciones de adición y multiplicación en complejos se realizan de manera idéntica a las de polinomios. Sean z = a1 + b1 i y w = a2 + b2 i dos números complejos (z, w ∈ C), se define: z+w z·w = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) i = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 ) i

Nótese que “el menos” en el producto resulta porque i2 = −1....