Comunicaciones y electronica

1
1.1
1.1.1

¶ ALGEBRA MATRICIAL
De¯niciones basicas
Matriz

Una matriz de orden, o de dimensi¶n, M por N (escrita como M £ N ) es un o conjunto de M £ N elementos ordenados en M ¯las y N columnas. Por tanto, una matriz A de (M £ N) puede expresarse como a11 6 a21 = [aij ] = 6 4 ::: aM1 2 a12 a22 ::: aM2 a13 a23 ::: aM3 3 ::: a1N ::: a2N 7 7 ::: ::: 5 ::: aMN

M£N

A

donde aij esel elemento que aparece en la i¶sima ¯la y la j¶sima columna e e de A, y donde [aij ] es una expresi¶n abreviada para la matriz A cuyo elemento o caracter¶ istico es aij : 1.1.2 Vector columna

Una matriz que consta de M ¯las y s¶lo una columna se denomina vector o columna. 3 6 6 3 7 =6 7 4 4 5 8 2

4£1

x

1.1.3

Vector ¯la

Una matriz que consta de s¶lo una ¯la y N columnas sedenomina vector ¯la. o x = £ 8 5 4 6 ¤

1£4

1

1.2

Tipos de matrices: Ejemplos
3 8 3 2 B =4 6 9 5 5 3£3 8 7 4 2

² Matriz cuadrada
2£2

A =

5 3 7 2

¸

² Matriz diagonal
2£2

A =

8 0 0 5

¸

3 5 0 0 B = 4 0 6 0 5 3£3 0 0 3

2

² Matriz identidad o unitaria
2£2

A =

1 0 0 1

¸

3 1 0 0 B = 4 0 1 0 5 3£3 0 0 1

2

² Matriz escalar

3 2 3 2 0 0 1 0 0 A=4 0 2 0 5=2£4 0 1 0 5 3£3 0 0 2 0 0 1

2

² Matriz sim¶trica e

3 2 1 7 A =4 1 2 3 5= A0 3£3 3£3 7 3 2

2

² Matriz idempotente A = A2 = A3 = A4 = :::

2

1.3
1.3.1

Operaciones matriciales
Adici¶n y substracci¶n de matrices o o

Si A y B son del mismo orden, se de¯na la adici¶n de matrices como o A+B =C donde C es del mismo orden que A y B. A = 2 3 4 5 6 7 8 9 ¸ B = 1 0 ¡1 3¡2 0 1 5 ¸ C = 3 3 3 8 4 7 9 14 ¸

2£4

2£4

2£4

La substracci¶n de matrices sigue el mismo principio que la adici¶n de mao o trices, excepto que C = A ¡ B, siempre y cuando A y B sean del mismo orden. 1.3.2 Multiplicaci¶n de matrices o 3 4 7 5 6 1 ¸ 3 2 1 B = 4 3 5 5 3£2 6 2
(m£p)(p£b)

2£3

A =

2

2£2

C =

60 37 34 37

¸

Regla :

A

B =

(m£b)

CPropriedades de la multiplicaci¶n de matrices: o 1) La multiplicaci¶n de matrices no necesariamente es commutativa: o AB 6= BA AB signi¯ca que A es postmultiplicada por B o B es premultiplicada por A.Aun si AB y BA existen, las matrices resultantes pueden no ser del mismo orden! 2) Un vector ¯la postmultiplicado por un vector columna es un escalar. 2 u1 ^ u2 ^ u3 ^ ::: un ^ 3 7 7 7 7 5

uu = ^ ¶^

£u1 ^

u2 ^

u3 ^

::: un ^

6 ¤ 6 6 6 4

3

= u2 + u2 + u2 + ::: + u2 ^1 ^2 ^3 ^n = X u2 es un escalar ^i

3) Un vector columna postmultiplicado por un vector ¯la es una matriz. 2 u1 u2 u3 ::: un 3

6 6 uu = 6 6 4
0

7 7 £ 7 u1 7 5 u1 u2 u2 2 ::: un u2

u2

u3

::: un

¤

u2 1 6 u2 u1 6 = 4 ::: un u1

2

u1 u3 u2 u3 ::: un u3

3 ::: u1 un ::: u2 un 7 7 ::: ::: 5::: u2 n

= es una matriz sim¶trica de orden n £ n: e 4) Una matriz postmultiplicada por un vector culumna es un vector columna. 5) Un vector ¯la postmultiplicado por una matriz es un vector ¯la. 6) La multiplicaci¶n de matrices es asociativa, es decir o (A B) C = A (B C)

M£N N£P P £K

M£N N£P P £K

7) La multiplicaci¶n de matrices es distributiva con respecto a la suma o A(B + C) = AB +AC y (B + C)A = BA + CA

4

1.3.3

Transposici¶n de matrices o 3 8 3 A = 4 6 9 5 3£2 8 7 2 8 6 8 3 9 7 ¸

2£3

A0 =

Propriedades de la transposici¶n de matrices: o 1) La transposici¶n de una matriz transpuesta es la misma matriz original o (A0 )0 = A 2) C = A + B C 0 = (A + B)0 = A0 + B 0

3) Si AB es de¯nido, (AB)0 = B 0 A0 4) La transpuesta de un matriz identidad es la matrizidentidad misma 5) Si A es una matriz cuadrada tal que A = A0 ; entonces A es una matriz sim¶trica. e 6) La transpuesta de un escalar es el escalar mismo. Por tanto, si ¸ es un escalar ¸0 = ¸ 7) La transpuesta de (¸A)0 es ¸A0 ; donde ¸ es un escalar.

5

1.4
1.4.1

Determinantes
Evaluaci¶n de un determinante de 2 £ 2 o A = a11 a21 a12 a22 ¸ jAj = a11 a22 ¡ a12 a21

1.4.2

Evaluaci¶n...