CONGRUENCIA DE TRIANGULOS


CAPITULO 4




CONGRUENCIA DE TRIANGULOS


Dos figuras geométricas son iguales o congruentes cuando al superponer una sobre otra, coinciden todos sus elementos (lados y ángulos) y por lo tanto las características de la una son idénticas a las características de la otra.

Tratándose de triángulos existen tres casos en los cuales podemos, previa la demostración respectiva, decir que existen dostriángulos idénticos o congruentes.

1er CASO.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente dos lados iguales y el ángulo comprendido entre estos dos lados también es igual.





Demostración.-Tomamos el triángulo A´B´C´ y lo colocamos sobre el triángulo ABC de tal manera que b´  b y por ser iguales A´  con A y C´  con C.


Con una abertura del  A´ que es igual a la del Atrazamos o colocamos el lado c´; como la inclinación de c´ es igual a la de c, el lado A´B´ caerá sobre AB y como por hipótesis son iguales entonces B´  B.


Una vez determinados dos puntos,(B´ y C´) por ellos sólo puede pasar una y sólo una recta la cual será el lado a´ que coincidirá con a.


si A es  A´ y B es  B´ y C  C´


Los triángulos son congruentes porque por tres puntosno colineales pasa uno y sólo un plano que este caso es un triángulo.










2do CASO.- Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente un lado y sus dos ángulos adyacentes iguales



















Demostración.- Tenemos el triángulo A´B´C´ y lo colocamos sobre el triángulo ABC de tal manera que b´ b; entonces; por ser iguales.

C´  C y A´  A


Los lados a´ y c´ sesuperponen sobre los lados a y c respectivamente porque tienen la misma inclinación con respecto al lado b.

Estos lados, al prolongarse, sólo pueden cruzarse en un punto y ese punto precisamente es B. entonces B´  B

Si A  A´ B  B´ y C  C´

Por los tres puntos solo puede pasar uno y solo un plano (en este caso, el triángulo)

  ABC  A´B´C´


Para el tercer caso es necesario demostrar un teorema preliminar.
TEOREMA .- En el triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales.

- Trazamos la bisectriz del vértice del triángulo isósceles (B)
 BD es bisectriz del  B por construcción.
  ABD =  DBC
En:  ABD y ▲ BDC
 ABD=  DBC
AB = BC
BD = BD
  ABD =  BDC por L.A.L.

 Si los 2 triángulos son iguales entonces sus partes homólogas también lo serán.
AD = DC y  A = C

Corolario 1.-
La bisectriz trazada desde el vértice de un triángulo isósceles es mediatriz, altura y mediana.
Corolario 2 .-
Todo triángulo equilátero es equiángulo.
Corolario 3 .-
Si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos son iguales y el triángulo es por tanto isósceles (teorema recíproco).
Corolario 4.-
Las medianas quecorresponden a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.
Corolario 5.-
Las bisectrices de los ángulos iguales de un triángulo isósceles son iguales

3er Caso.- Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados del otro, los dos triángulos son iguales.

Demostración.-

Colocar el triángulo A´B´C´ de manera invertida de tal forma que b´ cae sobre bUnimos B con B´ y tenemos el triángulo ABB´ en el cual AB = AB´ por hipótesis
  ABB´ es isósceles y consecuentemente  ABB´ =  AB´B por opuestos a los lados iguales.
En el  BB´C , BC = CB´ por hipótesis  ▲ BCB´ es isósceles y consecuentemente:
  B´BC =  CB´B (lados opuestos a lados iguales)
 ABB´ =  BB’A
 B’BC =...