Conicas

“Cónica”
Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.
Circunferencia

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro .

Ecuación analítica de la circunferencia :
Puesto que ladistancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x , y)de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que :

pasando la raíz al otro miembro :

desarrollando los términos cuadráticos obtenemos que :
si hacemos D = -2a , E = -2b , F = a2 + b2 - r2 tendremos :
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
Ejemplo:
* Encontrar la ecuación de la circunferencia tiene como centro(0,0) y pasa por (7,-9)
Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse .

Ecuación analítica de la elipse : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que lasuma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF + PF' = 2a
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que a2 = b2 + c2 ( piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c ) y por lo tanto la ecuación se puedequedar :
b2x2 + a2y2 = a2b2

dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales .
Ejemplo:
* ¿Cuál es la distancia de un extremo del eje menor al foco de la elipse x²/4+y²/3=1?
Aplicación:
* Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además secree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.
* Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.
* En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.
Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntosfijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .
Ecuación analítica de la hipérbola : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF - PF' = 2ª
elevando alcuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(c2-a2)·x2 - a2y2 - (c2-a2)·a2 = 0
a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación se puede quedar :
b2x2 - a2y2 = a2b2

dividiendo entre a2b2 obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :Si desarrollamos los cuadradosobtendremos que :
b2x2 - a2y2 - 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 - q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = -a2 , D = -2pb2 , E = 2qa2 , F = p2b2 - q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la elipse excepto que los términos A y B no son del mismo signo.Ejemplo:
* Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son (-6,2) y (0,2) y con un...