Conicas

MATEMATICAS Y CIENCIAS II

Actividades

Cónicas
Circunferencia
Parábola
Elipse
Hipérbola

Cónicas.

Definición

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) quesatisfacen una ecuación completa de segundo grado.
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la intersección de un cono circular recto de dos hojas con un plano que no pasa por su vértice. Seclasifican en tres tipos: elipse, parábola e hipérbola.

Grafico:

En el siguiente gráfico vemos la cónica que representa la ecuación cuadrática anterior


En este caso la matriz de la cónica ylas matrices adjuntas correspondientes son:
            
        

Ecuación:

Circunferencia

Definición: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistande un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Ecuación:
si hacemos coincidir el centro con el origen decoordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que ladistancia entre el centro (a, b) yuno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarlaresolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.Si reemplazamos   – 2a = D;     – 2b = E;     F = a2 + b2 – r2 tendremosque: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 |
Grafica:

Si tenemos la ecuación  x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6  6 = – 2a  a = – 3 E = – 8  – 8 = – 2b  b =4

El centro de la circunferencia es (– 3, 4).  Hallemos el radio
 
F = (– 3)2 + 42 – r2 – 11 = (– 3)2 + 42 – r2  r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36...