conicas




Elipse




Circunferencia




V







Hipérbola






Parábola







C O N I C A S



El primer matemático que inició el estudio de las cónicas fue Apolonio de Perga (262 – 190 a.C), que enseñó matemáticas en las universidades de Alejandría y Pérgamo. Su estudio lo plamó en su tratado “Cónicas”,que constaba de ocho ibros. Cuatro de ellos se conservan originales, otros tres gracias a la traducción al árabe llevcada a cabo por Thabit ibn Qurra, habiendo desaparecido el octavo. En 1710, Edmund Halley, el astrónomo, publicó una traducción de los siete libros conocidos en latín.


La importancia de las cónicas radica en su aplicación al estudio del movimiento de los planetas, debido a queestos siguien órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol, característica utilizada por Kepler en su estudio sobre los planetas y por Newton en Ley de Gravitación Universal.


Otra aplicación de las cónicas es al estudio de los movimientos de los proyectiles, tiro horizontal y parabólico.


Asímismo se utilizan las propiedades de las cónicas para la construcción deantenas y radares, sabiendo que cualquier onda que incide sobre una superficie parabólica, se refleja pasando por el foco.


Se llaman secciones cónicas a las secciones producidas en una superficie cónica de revolución por un plano que no pase por el vértice.


Si el plano corta todas las generatrices, la sección producida se llama elipse.


Si además, el plano es perpendicular al eje delcono, la sección obtenida es una circunferencia.


Si el plano es paralelo a una sola generatriz, la curva obtenida ya no es cerrada, está en una de las hojas del cono, consta de una sola rama y se llama parábola.


Si el plano es paralelo a dos generatrices, entonces corta a las dos hojas del cono en una curva abierta formada por dos ramas separadas, llamada hipérbola.


Desde estepunto de vista, pueden establecerse los elementos notables tales como: centro, ejes, focos, directrices,.... y estudiar las propiedades métricas. Sin embargo se va a partir en este libro de definiciones basadas en propiedades métricas, y a partir de ahí se hallarán sus ecuaciones en un sistema cartesiano.






Recuerda que:

Distancia entre dos puntos A(a1,a2) y B(b1,b2) viene dadapor:





 Resuelve tu mismo

1.- Halla la distancia entre los puntos A(2, -1) y B(-1, 3).
R. 5.

2.- Halla la distancia entre los puntos A(3, -2) y B(0,1).
R. .







C
r




 Resuelve tu mismo

3.- Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (0, 0) y radio3.
R. x2+y2 = 9.

4.- Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (3, -2) y radio .
R. x2+y2-6x+4y+11 = 0




LA CIRCUNFERENCIA:

Ecuación de la Circunferencia

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante. A esta distancia se le denomina radio de la circunferencia.

Sea C(a, b) el centro de la circunferencia, r el radio y P(x,y) un punto de la misma.

, elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación obtenemos:



que es la ecuación de la circunferencia, conocidos su centro y radio.

Desarrollando la ecuación reducida: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2, y pasando al primer término , obtenemos:

x2 + y2 – 2 ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0.

Sillamamos A = - 2 a ; B = - 2 b y C = a2 + b2 – r2, la ecuación de la circunferencia, en su forma general sería:



Ejemplo: Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (2, -1) y radio 3.

Escribimos la ecuación (x – 2)2 + (y + 1) 2 = 9

Desarrollando: x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0




¿Es una circunferencia?

Para saber si una ecuación de la...