Conicas

Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica.
Matem´aticas I. 2010-2011.
Departamento de Matem´atica Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla

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Tema 1.- C´onicas y Cu´adricas.

1.1.- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas.
Las secciones c´onicas.
Definici´on m´etrica y elementos notables. La propiedad focal.
Ecuaci´on reducida de una c´onica nogirada. Ecuaciones param´etricas.
1.2.- Las cu´adricas. Ecuaciones reducidas.
Ecuaci´on reducida de una cu´adrica no girada. Los elipsoides.
Los hiperboloides y el cono. Los paraboloides.
Los cilindros y las cu´adricas degeneradas.
1.3.- Ejercicios.
1.4.- Ap´endice: MATLAB.

Referente a la geometr´ıa del plano, el alumno conoce, de sus estudios de bachillerato, las curvas que seobtienen como gr´afica de una funci´on expl´ıcita, y = f (x). Adem´as, conoce la ecuaci´on general (o impl´ıcita) de la recta ax + by + c = 0, ecuaci´on que salvo casos excepcionales (b = 0) define a y como funci´on expl´ıcita de x, y = − 1 (ax + c). Por otra parte, conoce la circunferencia, curva que no puede obtenerse como gr´afica de una funci´on expl´ıcita. La relaci´on que establece la ecuaci´onde una circunferencia (x − a)2 + (y − b)2 = r2 entre
b
las variables (x, y) es una relaci´on impl´ıcita. Podemos obtener expresiones expl´ıcitas de y en
È
funci´on de x si dividimos la circunferencia en dos semi-circunferencias y = b± r2 − (x − a)2, pero el trabajar con estas expresiones obliga a no poder considerar y hacer c´alculos sobre la curva completa.
En este tema estudiaremoslas ecuaciones y los aspectos elementales de las c´onicas (cur- vas planas de segundo grado) y las cu´adricas (las superficies de segundo grado). En dicho tratamiento elemental consideraremos las propiedades intr´ınsecas (propiedades que no depen- den del sistema de coordenadas) y estudiaremos las ecuaciones de dichas curvas y superficies cuando sus elementos de simetr´ıa son paralelos a alguno delos ejes o planos coordenados. M´as adelante, en la parte final de la asignatura, con las herramientas correspondientes al c´alculo de autovalores y autovectores y a la diagonalizaci´on ortogonal de una matriz sim´etrica real, podr´a completarse el estudio considerando las c´onicas y cu´adricas dadas por su ecuaci´on en forma general.
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1.1.- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas.
Enprimer lugar vamos a estudiar los aspectos b´asicos de las c´onicas no degeneradas (par´abola, elipse e hip´erbola), considerando la definici´on de ´estas como el lugar geo- m´etrico de todos los puntos del plano que verifican una determinada propiedad m´etrica.
Independientemente de que el resultado sea o no sea una c´onica, algunos ejemplos sencillos de lugares geom´etricos definidosmediante condiciones m´etricas son los siguientes:
La circunferencia: lugar geom´etrico de los puntos de un plano que est´an a una distancia prefijada de un punto fijo,
La mediatriz de un segmento: el lugar geom´etrico de los puntos de un plano que equidistan de los extremos del segmento,
El lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de dos rectas que se cortan est´a for- mado por las dosbisectrices de los ´angulos que determinan las rectas dadas,
Una vez definida cada c´onica, veremos que, adoptando un sistema de ejes adecuado, ´esta queda caracterizada mediante una ecuaci´on impl´ıcita en dos variables (x, y) que vendr´a dada por una ecuaci´on polin´omica de segundo grado sin t´ermino en xy.
Adem´as de las ecuaciones impl´ıcitas de las distintas c´onicas (referidas a ejesapropiados) consideraremos una descripci´on param´etrica. En t´erminos generales, puede decirse que las descripciones param´etricas son las herramientas m´as apropiadas a la hora de representar gr´aficamente una curva (plana o tridimensional) o una superficie. Esto se pone de manifiesto a la hora de obtener las gr´aficas de curvas y superficies usando MATLAB (o cualquier otro paquete de programas que...