CONICAS






El cono
Una superficie cónica de revolución, o cono de revolución, se obtiene al hacer girar una recta r alrededor de una recta s, fija, llamada eje, de manera que ambas se cortan en un punto V, llamado vértice del cono. Cualquier recta g que pasa por V y contenida en la superficie cónica recibe el nombre de generatriz (fig. 1)



Fig 1


CIRCUNFERENCIA

Cuando hablamos de circunferencia,nos referimos a una figura plana cuya característica esencial son todos aquellos puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. La distancia entre cualquier punto de la misma y el centro se denomina radio de la circunferencia.
La circunferencia es un caso particular de la sección llamada Elipse, Se denomina circunferencia cuando un plano corta a un cono en sentidoperpendicular a su eje (Ver Figura 1).
Es importante saber que desde cualquier punto del plano que se encuentre a una distancia R, del punto O, está en la circunferencia. Para estudiar la sección es conveniente considerarlas en el plano cartesiano.

Por ejemplo, como vemos en la figura que se muestra a continuación, el centro de la circunferencia se encuentra en el punto (0; 0) y radio igual a 2.Sin observar la figura, podemos deducir con la definición de circunferencia que los puntos (2; 0), (0; 2), (-2; 0), (0;-2), todos pertenecen a la circunferencia, Nos damos cuenta de esto, ya que la distancia entre estos puntos al punto (0; 0) es igual a 2.

Ecuación analítica

Si hacemos coincidir el centro de la circunferencia con elorigen de coordenadas de un eje cartesiano, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x; y) determina un triángulo rectángulo, por lo tanto responde al Teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2.

Si suponemos que la distancia entre el centro de (a; b) y uno cualquiera de los puntos (x; y) de la circunferencia es constante e igual al radio r, tendremos que:
r2 = (x – a)2 + (y – b)2,Canónicamente podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados y obtenemos:
x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
Si reemplazamos -2a = D; -2b = E; F = a2 + b2 - r2 Tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Para demostrarlo, usaremos un ejemplo:

Tenemos la ecuación  x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que D = 6 = -2a, por lo tanto a = -3. E = -8 = -2b, por lo tanto b = 4.
Con estos resultados hallamos elcentro de la circunferencia que es (-3; 4). Y ahora ya podemos hallar el radio:
F = (– 3)2 + 42 – r2 (– 3)2 + 42 – r2 , resolviendo esto, tenemos como resultado que r = 6
La ecuación de la circunferencia queda:
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
Elementos

Centro: Se le llama de esta forma al punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia.
Radio: Este es el segmento que uneal centro con un punto cualquiera que contenga la circunferencia.
Diámetro: El diámetro es el mayor segmento que une dos puntos de esta sección. El cual necesariamente pasa por el centro de la circunferencia)
Cuerda: Se le denomina al segmento que une dos puntos de la circunferencia, la cuerda de longitud máxima es el diámetro.
Recta secante: Se le llama a la recta que corta a la circunferenciaen dos puntos.
Recta tangente: Esta recta se encuentra con un solo punto de la circunferencia.
Arco: Se le denomina Arco al segmento curvilíneo de puntos, los cuales pertenecen a la circunferencia.
Semicircunferencia: Son los dos arcos que están delimitados por los dos extremos de un diámetro.

Propiedades principales

La circunferencia y un punto en el plano puede ser:
Exterior a lacircunferencia: Cuando la distancia de un punto al centro es mayor a la longitud del radio.
Perteneciente a la misma si la distancia del punto al centro es igual a la longitud del radio.
Interior en la circunferencia, cuando la distancia del punto al centro es de menor longitud a la del radio. Se le llama interior de la circunferencia al conjunto de todos los puntos interiores de la circunferencia.

La...