conjunto proporcional de soluciones

Conjunto fundamental de soluciones
Todo conjunto X1, X2, …, Xn de n vectores solución linealmente independientes del sistema homogeneo (5) en u intervalo I.
Existencia de conjunto fundamentaExiste un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo (5) en un intervalo I.
Solucion general, sistemas homogéneos
Sean X1, X2,…, Xn un conjunto fundamental de soluciones del sistemahomogéneo (5) en un intervalo I. Entonces, la solución general del sistema en el intervalo es

En donde las  son constantes arbitrarias.

Sistemas no homogéneos
Para los sistemas nohomogéneos, una solución particular  en un intervalo I es cualquier vector, sin parámetros arbitrarios, cuyos elementos sean funciones que satisfagan al sistema (4).

Solución general, sistemas nohomogéneos
Sean  una solución del sistema (4) no homogéneo en un intervalo I sea  la solución general, en el mismo intervalo, del sistema homogéneo (5) correspondiente. Entonces, la solución general delsistema no homogéneo en el intervalo es 
La solución general  del sistema homogéneo (5) se llama función complementaria del sistema no homogéneo.
Valores propios y vectores propios(eigenvalores y eigenvectores)
Para que (1) sea un vector solución de (2), X’=Kλ.
Al dividir por  y reordenar, se obtiene AK=λK; osea
(A – λI)K=0
La ecuación (3) equivale al sistema de ecuacionesalgebraicas simultaneas 
Asi para determinar una solución X no trivial de (2), debemos llegar a una solución no trivial del sistema anterior, en otras palabras, hay que calcular un vector K no trivialque cumpla con (3). Pero para que (3) tenga soluciones no triviales, se requiere det(A-λI)=0
Esta es la ecuación característica de la matriz A; en otras palabras, X=ke será solución del sistema (2)de ecuaciones diferenciales si, y solo si λ.
Cuando la matriz A de n x n tiene n valores propios reales y de distintos λ1, λ2,…,λn, siempre se puede determinar un conjunto de n vectores propios...