Construcción De Los Números Reales

LA CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Todo giraba en torno a' la siguiente pregunta:
Que es un numero real?
Esta pregunta un poco difícil de contestar, a la cual se le pudo dar respuesta hasta mediados del siglo XIX.
Al hombre en ese momento le eran suficientes los racionales para satisfacer la mayoría de las necesidades numéricas; sin embargo, dentro de ellos no se encontraban solucionespara ecuaciones tan sencillas como X2-2=0
Pasando a la geometría, los antiguos griegos creían que dos segmentos siempre eran conmensurables, es decir, que tomando uno de ellos como unidad para medir el otro, el resultado de la medición era un numero racional. En esta creencia basaron buena parte de su trabajo sobre la semejanza de figuras y la teoría de las proporciones.
Hacia finales del sigloVa.c. los pitagóricos descubrieron que las diagonales de un cuadrado no son conmensurables con respecto al lado, o sea que √2 no era un numero racional.
De esa afirmación realizaron los griegos una prueba:
Supongamos que existe una fracción que valga √2; entonces también existe una fracción irreducible pq que es igual a √2; o sea pq=√2 con pq no simplificable, es decir como máximo comúndivisor de p y q igual a 1.
Pero pq=√2 si y solo si p2/q2=2 si y solo si p2=2q2
O sea que p2 es par y en consecuencia p es par (ya que si p=2m+1, p2=2(2m2+2m)+1 seria impar), luego p=2k y la última igualdad se tranforma en (2k)2=2q2 o sea 4k2=2q2 y simplificando por 2, 2k2=q2 luego q2 es par y también q es par, q=2m, así que pq=2k2m sería simplificable por 2, contrario a la hipótesis deirreductibilidad, q.dem.
Los griegos tuvieron entonces que revisar la casi totalidad de la teoría de las proporciones que habían desarrollado, buscando métodos que permitieran efectuar las demostraciones aùn en casos conmensurables.
Eudoxio propuso la siguiente definición de proporcionalidad: si AB,CD,EF y GH son longitudes de segmentos, para todo par de enteros positivos p,q,
p*CD<q*AB, si y solo sip*GH<q*EF
Modificando ligeramente lo anterior, se obtiene
ABCD=EFGH
Sì y solo si para todo p y q que pertenezcan a los enteros positivos
pq<ABCD si y solo si pq<EFGH
Es una definición de igualdad entre reales muy poderosa.
A finales del siglo XIX dedekind se encontraba descontento con los fundamentos que se le habían dado al cálculo y a la geometría de los números reales. Dedekindnecesitaba construir un sistema densamente ordenado, en donde satisficiera las propiedades fundamentales del algebra elemental. Dedekind en vez de construir una base para realizar demostraciones, lo que quería construir era una fundamentación puramente aritmética para el calculo y la geometría
Cuando Richard Dedekind (1831-1916) estaba buscando un método para construir con todo el rigor posiblelos números reales, se encontró, con que el retomar las ideas de Eudoxio y darles un ropaje ligeramente diferente, era todo lo que se necesitaba.
El trabajo de dedekind basado en el de Eudoxio, es la construcción de los reales más acorde en la teoría de conjuntos y no necesita conocimientos sobre convergencia de sucesiones, presentando cada real como cierto conjunto de racionales.
x=y si y solosi para todo p,q que pertenezca a los naturales
pq<x pq<y
Para hacerla extensiva a todos los reales, basta tomar racionales cualquiera
x=y si y solo si para todo r que pertenezca a los racionales se cumple que:
r<xr<y
en otros términos:
x=y si y solo si {rЄQ/r<x}= {rЄQ/r<y}
lo que significa un numero queda perfectamente determinado por el conjunto de todos losracionales que le preceden estrictamente.
Esto fue precisamente lo que hizo dedekind.
Si analizamos un poco mas la naturaleza de los conjuntos que definen los números reales, tenemos lo siguiente:
C= {rєQ/r<x}
i) El conjunto C no es vacio, pues siempre existen racionales menores que cualquier real dado; tampoco C es todo Q, ya que también existen racionales mayores que el real x.
ii) Si...