Continuidad

Definición de continuidad

Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1.
está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f)
2.
existe
3.


La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.
Ejemplo
Determinar si la función definida por es continua en
Primero porlo que f está definida en 2
Calculemos
(de aquí existe)

Como entonces f es continua en

Note que f no está definida ni en , ni en por lo que f es discontinua en esos puntos.


Ejemplo
Determine si la función definida por



es o no continua en

Se tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )

Además

Pero por lo que es discontinua en .

Larepresentación gráfica de la función es la siguiente:





Ejemplo
Sea f la función definida
Determinar si f es continua en

Según la definición de la función .

Además

Luego por lo que f es continua en

La representación gráfica de esta función es la siguiente:




Ejercicios
Determine si la función f definida por es o no continua en
Similarmentepara la función h definida por , en los puntos y

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

Continuidad
f(x)=x2
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.
f(x)=sgn x
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgnx (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términos del concepto de límite...
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Definición
Continuidad
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad
f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x 2

Discontinua en x=2.

Si bienexiste f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0
Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".
Tipos o clasificación de continuidad
Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) ylimx->a-f(x) = f(a).
Definición
Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).
La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.
Definición
Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]
Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f escontinua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)
Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple:
Si xo es punto de acumulación del dominio de la función entoncesf es continua en xo
si y sólo si
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).
Así pues, una función f continua en el punto x1...