Continuidad

Análisis Real:
Continuidad de funciones de variable real a valor
Joel Cruz Ramírez
2013-2014

ii

Índice general
Introducción

V

1. Continuidad de Funciones de variable real con valor real

1

1.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10iii

iv

ÍNDICE GENERAL

Introducción

v

vi

INTRODUCCIÓN

Capítulo 1
Continuidad de Funciones de
variable real con valor real
1.1.

Continuidad

De…nición. Para E
a) f = g

R, f; g : E ! R dos funciones,

si, y sólo si, f (x) = g (x) para toda x 2 E;

b) (f + g) (x) = f (x) + g (x)

para toda x 2 E;

c) ( f ) (x) = f (x) para toda x 2 E

y

2 R;

d)(f g) (x) = f (x) g (x) para toda x 2 E;
f
f (x)
e)
(x) =
, g (x) 6= 0, para toda x 2 E.
g
g (x)

El conjunto de funciones F = ff : E ! Rg forman un espacio vectorial sobre R tras

considerar a), b) y c); un álgebra tras considerar a), b), c) y d).

De…nición. Para E
M 2 R tal que

R, f : E ! R una función, f está acotada en E si, existe
jf (x)j

Teorema. Para E

M

para todax 2 E.

R, f; g : E ! R funciones acotadas, entonces

a) f + g está acotada;
b)

f está cotada para

2 R;
1

2CAPÍTULO 1. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL CON VALOR REAL
c) f g está acotada.
Demostración. a) f está acotada en E, entonces existe M1 tal que jf (x)j

toda x 2 E y g está a cotada en E, entonces existe M2 tal que jg (x)j

M2

M1

para

para toda

x2 E. Sea M = 2max fM1 ; M2 g, entonces se tiene
jf (x) + g (x)j

b) Caso 1,

jf (x)j + jg (x)j

M1 + M2

M
M
+
= M para toda x 2 E.
2
2

= 0 se tiene f = 0 sea M = 1 para obtener
j f (x)j = 0 < 1.

Caso 2,

6= 0 como f es acotada existe M tal que
jf (x)j

M
para toda x 2 E.
j j

Luego
j j jf (x)j
j f (x)j

j j

M
para toda x 2 E,
j j

M para toda x 2 E.

c)f está acotada entonces existe M1 tal que
jf (x)j

M1 para toda x 2 E,

y g está acotada entonces existe M2 tal que
jg (x)j

M2 para toda x 2 E.

Por lo que
jf (x) g (x)j

M1 M2 para toda x 2 E.

El conjunto de funciones acotadas en E, B = ff : E ! Rg forman un espacio vectorial

sobre R tras considerar a) y b); y un álgebra tras considerar a), b) y c).

De…nición. a) Para E
"> 0 existe

R, una función f : E ! R es continua en x si, para toda

= ("; x) > 0 tal que para toda y 2 E con jy
jf (y)

f (x)j < ":

xj <

implica

1.1. CONTINUIDAD

3

b) f : E ! R es continua en E si f es continua en cada x 2 E.

Teorema. a) Si f : E ! R es continua en x, entonces existe un intervalo abierto en

torno a x en que f está acotada;

b) Si f : E ! R escontinua en x y f (x) 6= 0, entonces existe un intervalo abierto en

torno a x en que f 6= 0.

Demostración. a) Como f es continua en x, entonces para " = 1 > 0 existe

que para toda y 2 E con jy

implica

xj <

jf (y)
jf (y)

> 0 tal

f (x)j < 1

jf (x)jj < jf (y)
jf (y)j

f (x)j < 1

jf (x)j < 1

jf (y)j < 1 + jf (x)j = Mx
para toda y 2 (x

; x + ) \ E.

b) Como f escontinua en x y f (x) 6= 0, entonces para " =

que para toda y 2 E con jy

xj <

implica

jf (y)

f (x)j <

jf (x)j
> 0 existe
2

jf (x)j
2

jf (y)j + jf (x)j < jf (y)
jf (y)j + jf (x)j <

f (x)j <

jf (x)j
2

jf (x)j
2

jf (x)j
jf (x)j
2
jf (x)j
jf (y)j <
2
jf (x)j
jf (y)j >
>0
2
; x + ) \ E, f (y) 6= 0.
jf (y)j <

para toda y 2 (x

Teorema. Para E

R,f; g : E ! R funciones continuas, entonces

a) f + g es continua;
b)

f es continua para

2 R;

> 0 tal

4CAPÍTULO 1. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL CON VALOR REAL
c) f g es continua;
f
es continua para g 6= 0.
d)
g
f) jf j es continua.

Demostración. a) Sea x 2 E, f es continua en x entonces para " > 0 existe

que para toda y 2 E con jy

xj <

1

"
f (x)j...